Friday, June 10, 2011
UPAYA MENINGKATKAN HASIL BELAJAR PESERTA DIDIK MELALUI PENGGUNAAN MULTIMEDIA INTERAKTIF PADA POKOK BAHASAN LINGKARAN DI SMP NEGERI 3 LUWUK (Penelit
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pendidikan adalah usaha sadar dan sistemastis, yang dilakukan orang- orang yang diserahi tanggung jawab untuk mempengaruhi peserta didik agar mempunyai sifat dan tabiat sesuai dengan cita-cita pendidikan (Achmad Munib, 2004:34). Pendidikan ialah pimpinan yang diberikan dengan sengaja oleh orang dewasa kepada anak-anak, dalam pertumbuhannya (jasmani dan rohani) agar berguna bagi diri sendiri dan bagi masyarakat (M. Ngalim Purwanto, 2002:10). Dalam arti lain, pendidikan merupakan pendewasaan peserta didik agar dapat mengembangkan bakat, potensi dan ketrampilan yang dimiliki dalam menjalani kehidupan, oleh karena itu sudah seharusnya pendidikan didesain guna memberikan pemahaman serta meningkatkan prestasi belajar peserta didik (siswa). Prestasi belajar siswa di sekolah sering diindikasikan dengan permasalahan belajar dari siswa tersebut dalam memahami materi. Indikasi ini dimungkinkan karena faktor belajar siswa yang kurang efektif, bahkan siswa sendiri tidak merasa termotivasi di dalam mengikuti pembelajaran di kelas. Sehingga menyebabkan siswa kurang atau bahkan tidak memahami materi yang bersifat sukar yang di berikan oleh guru tersebut. Kecenderungan pembelajaran yang kurang menarik ini merupakan hal yang wajar di alami oleh guru yang tidak memahami kebutuhan dari siswa tersebut baik dalam karakteristik, maupun dalam pengembangan ilmu. Dalam hal ini peran seorang guru sebagai pengembang ilmu sangat besar untuk memilih dan melaksanakan pembelajaran yang tepat dan efisien bagi peserta didik bukan hanya pembelajaran berbasis konvensional. Pembelajaran yang baik dapat ditunjang dari suasana pembelajaran yang kondusif serta hubungan komunikasi antara guru, siswa dapat berjalan dengan baik. Berangkat dari hal tersebut multimedia interaktif dalam kelas dikembangkan atas dasar asumsi bahwa proses komunikasi di dalam pembelajaran akan lebih bermakna (menarik minat siswa dan memberikan kemudahan untuk memahami materi karena penyajiannya yang interaktif), jika memanfaatkan berbagai media sebagai sarana penunjang kegiatan pembelajaran. Dari segi pengertian, multimedia interaktif dapat di artikan sebagai kombinasi berbagai unsur media yang terdiri dari teks, grafis, foto, animasi, video, dan suara yang disajikan secara interaktif dalam media pembelajaran.
Pembelajaran matematika akan menuju arah yang benar dan berhasil apabila mengetahui karakteristik yang dimiliki matematika. Matematika memiliki karakteristik tersendiri baik ditinjau dari aspek kompetensi yang ingin dicapai, maupun dari aspek materi yang dipelajari untuk menunjang tercapainya kompetensi. Di tinjau dari aspek kompetensi yang ingin dicapai matematika menekankan penguasaan konsep dan algoritma serta ketrampilan untuk memecahkan masalah dengan menggunakan media pembelajaran yang tepat . Bagaimana dengan menggunakan media pembelajaran itu di integrasikan ke dalam kegiatan belajar mengajar matematika akan efektif bagi peserta didik .
Mengajar merupakan suatu perbuatan yang memerlukan tanggung jawab moral, maka berhasilnya pedidikan peserta didik secara formal terletak pada tanggung jawab guru dalam melaksanakan tugas pokok mengajar. Mengajar pada prinsipnya adalah membimbing peserta didik dalam proses kegiatan belajar mengajar. Dengan kata lain mengajar merupakan suatu usaha mengorganisasikan lingkungan dalam hubungannya dengan anak didik dan bahan pengajaran sehingga menimbulkan proses belajar pada diri peserta didik.
Pandangan guru terhadap mengajar akan mempengaruhi peranan dan aktivitasnya dalam mengajar. Aktivitas guru dalam mengajar dan aktivitas peserta didik dalam belajar sangat tergantung pada pemahaman guru terhadap mengajar. Kualitas proses kegiatan belajar sangat dipengaruhi oleh metode mengajar dan penggunaan media yang diterapkannya. Media adalah salah satu alat untuk mencapai tujuan pengajaran. Efektifitas penggunaan media dapat terjadi bila ada kesesuaian antara metode dengan semua komponen pengajaran yang telah diprogramkan dalam satuan pelajaran sebagai persiapan tertulis.
Dalam kaitannya dengan metode mengajar terkandung dua unsur yaitu unsur kegiatan guru dan unsur kegiatan peserta didik , guru membawa peserta didik kearah tujuan, peserta didik melakukan serangkaian kegiatan yang disediakan guru, dalam hal ini peserta didik dipandang sebagai titik pusat terjadinya proses belajar. Peserta didik sebagai subyek yang berkembang melalui pengalaman belajar. Guru lebih berperan sebagai fasilisator dan motivasi belajar peserta didiknya. Kegiatan guru dan peserta didik ini terjadi interaksi yang berlansung dalam proses belajar mengajar. Untuk mencapai tujuan yang diharapkan, guru harus menguasai berbagai metode dan media mengajar untuk dipergunakan di dalam kelas.
Guru dalam menyampaikan materi pelajaran di tuntut untuk lebih kreatif sehingga peserta didik merasa senang pada saat proses belajar di kelas , dalam hal ini guru haruslah selalu berinovasi dalam pembelajarannya , berinovasi dalam banyak hal, diantaranya dengan memakai media multimedia interaktif .
Menurut hasil survey awal dan informasi dari guru matematika yang penulis dapatkan bahwa masih ada berberapa peserta didik yang ada di SMP Negeri 3 Luwuk prestasinya masih rendah tidak mencapai kreteria ketuntasan minimum (KKM), ini disebabkan guru dalam proses pembelajaran yang hanya dilakukan dengan menceramahkan konsep dan prinsip yang sudah jadi. kondisi ini di tambah lagi dengan kurangnya guru menerapkan media pembelajaran yang berorientasi pada peserta didik, sehingga peserta didik tidak termotivasi untuk berfikir dan membangun gagasan . Rendahnya minat , aktifitas dan motivasi belajar peserta didik terhadap pembelajaran matematika yang berpengaruh pada prestasi belajar peserta didik. Guru dalam hal mengajar matematika khususnya pada pokok bahasan lingkaran lebih banyak menggunakan metode ceramah ini kurang tepat ,mengingat penggunaan metode tersebut memuat peserta didik hanya mencerna informasi yang diberikan guru yang sifatnya searah. Dengan demikian peserta didik akan sulit memahami konsep yang diajarkan oleh guru sehingga akan berdampak pada rendahnya prestasi belajar peserta didik pada pokok bahasan lingkaran.
Berdasarkan permasalah diatas, maka dalam pembelajaran matematika khususnya pada kompetensi dasar lingkaran perlu adanya pembaharuan dan proses pembelajaran agar permasalahan tersebut tidak terjadi lagi. Dalam hal ini perlu adanya peningkatan prestasi belajar peserta didik pada kompetensi dasar lingkaran. Salah satu upaya yang dapat dilaksanakan adalah dengan memilih media pembelajaran yang tepat.
Dalam penelitian ini multimedia interaktif dipilih peneliti karena dalam proses pembelajaran lebih menarik, lebih interaktif, jumlah waktu mengajar dapat dikurangi, kualitas belajar siswa dapat ditingkatkan dan proses belajar mengajar dapat dilakukan di mana dan kapan saja, serta sikap belajar siswa dapat ditingkatkan
Berbagai keunggulan penerapan multimedia interaktif meliputi: 1) multiple media, maksudnya teks, audio, grafik, gambar diam dan gambar gerak dapat dikombinasikan dalam suatu sistem yang mudah dioperasikan, 2) learner participation, maksudnya materi multimedia dapat membantu memelihara perhatian peserta didik dan memberikan peluang lebih kepada peserta didik untuk berpartisipasi ketimbang bentuk lain.3) Individualization, maksudnya penyajian pencabangan materi multimedia melepaskan kendali belajar sepenuhnya pada peserta didik khususnya dalam proses pembelajaran. 4) Flexibility, maksudnya peserta didik memiliki kebebasan dalam memilih pelajaran, mengevaluasi pemahaman, sesuai dengan minat dan keinginan melalui menu. 5) multimedia interaktif lebih mendukung belajar mandiri ketimbang belajar bersama.
Berdasarkan uraian diatas, penulis bermaksud mengadakan penelitian tindakan kelas (PTK) yang di formulasikan dalam judul “Upaya meningkatkan prestasi belajar peserta didik melalui penggunaan multimedia interaktif pada kompetensi dasar lingkaran di SMP Negeri 3 Luwuk”
B.Identifikasi Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang diatas maka permasalahan yang muncul pada penelitian adalah :
1. Kurang tepatnya penggunaan media pembelajaran kompetensi dasar lingkaran
2. Rendahnya prestasi belajar peserta didik pada kompetensi dasar lingkaran
C.Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan indentifikasi masalah diatas , maka peneliti dapat rumuskan “ Apakah dengan menggunakan multimedia interaktif hasil belajar peserta didik pada kompetensi dasar lingkaran dapat meningkat ?”
D. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah :
Hasil belajar peserta didik kelas VIII SMP Negeri 3 Luwuk tahun pelajaran 2010 / 2011 khususnya kompetensi dasar lingkaran dapat meningkat melalui penggunaan multimedia interaktif.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Bagi Peneliti
a. Mendapatkan pengalaman langsung menerapkan multimedia interaktif
b. Mendapatkan bekal tambahan sebagai mahasiswa dan calon guru matematika sehingga siap melaksanakan tugas di lapangan
2. Bagi peserta didik
Bagi peserta didik SMP dapat meningkatkan hasil belajar matematika kompetensi dasar lingkaran.
3. Bagi guru
Bagi guru penelitian ini diharapkan dapat memberikan peningkatan mutu pembelajaran atau pendidikan melalui penggunaan multimedia interaktif terhadap peningkatan hasil belajar peserta didik SMP pada kompetensi dasar lingkaran.
F. Sistematika Pembahasan
Adapun sistematika pembahasan dalam penelitian ini disusun sebagai berikut :
BAB I : Pendahuluan,Latar Belakang, Identifikasi Masalah, Rumusan Masalah, Tujuan Penelitian ,Manfaat Penelitian Dan Sistematika Pembahasan
BAB II : Tinjauan Pustaka, Menguraikan tentang pengertian belajar, prestasi belajar,pengertian peserta didik,multimedia interaktif, tinjauan tentang kompetensi dasar , kerangka berpikir, hipotesis tindakan.
BAB III : Metodologi penelitian. Menguraikan tentang langkah langkah penelitian, prosedur penelitian, data dan teknik pengambilan data.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Multimedia Interaktif
Multi media menurut bahasa Multi (latin Nouns) adalah banyak bermacam –macam, sedangkan medium adalah sesuatu yang dipakai untuk menyampaikan atau membawa sesuatu . Multimedia adalah media yang menggabungkan dua unsur atau lebih media yang terdiri dari teks, grafis, gambar, foto, audio, video dan animasi secara terintegrasi. Multimedia terbagi menjadi dua kategori, yaitu: multimedia linier dan multimedia interaktif. Multimedia linier adalah suatu multimedia yang tidak dilengkapi dengan alat pengontrol apapun yang dapat dioperasikan oleh penguna. Multimedia ini berjalan sekuensial (berurutan), contohnya: TV dan film. Multimedia interaktif adalah suatu multimedia yang dilengkapi dengan alat pengontrol yang dapat dioperasikan oleh pengguna, sehingga pengguna dapat memilih apa yang dikehendaki untuk proses selanjutnya. Contoh multimedia interaktif adalah: multimedia pembelajaran interaktif, aplikasi game, dll. Dalam multimedia interaktif memungkinkan terjadinya proses belajar. Jadi dalam pembelajaran yang utama adalah bagaimana siswa belajar. Belajar dalam pengertian aktifitas mental siswa dalam berinteraksi dengan lingkungan yang menghasilkan perubahan perilaku yang bersifat relatif konstan.
Dengan demikian aspek yang menjadi penting dalam aktifitas belajar adalah Bagaimana menata unsur-unsurnya pembelajaran dapat mengubah perilaku siswa. Dari uraian di atas, apabila kedua konsep tersebut kita gabungkan maka multimedia interaktif dapat diartikan sebagai aplikasi multimedia yang digunakan dalam proses pembelajaran, dengan kata lain untuk menyalurkan pesan (pengetahuan, keterampilan dan sikap) serta dapat merangsang piliran, perasaan, perhatian dan kemauan yang belajar sehingga secara sengaja proses belajar terjadi, sesuai dengan tujuan
Menurut Mulyani (2010) Berbagai keunggulan penerapan multimedia interaktif meliputi: 1) multiple media, maksudnya teks, audio, grafik, gambar diam dan gambar gerak dapat dikombinasikan dalam suatu system yang mudah dioperasikan, 2) learner participation, maksudnya materi multimedia dapat membantu memelihara perhatian peserta didik dan memberikan peluang lebih kepada peserta didik untuk berpartisipasi ketimbang bentuk lain.3) Individualization, maksudnya penyajian pencabangan materi multimedia melepaskan kendali belajar sepenuhnya pada peserta didik khususnya dalam proses pembelajaran. 4) Flexibility, maksudnya peserta didik memiliki kebebasan dalam memilih pelajaran, mengevaluasi pemahaman, sesuai dengan minat dan keinginan melalui menu. 5) multimedia interaktif lebih mendukung belajar mandiri ketimbang belajar bersama.
Secara umum manfaat yang dapat diperoleh adalah proses pembelajaran lebih menarik, lebih interaktif, jumlah waktu mengajar dapat dikurangi, kualitas belajar siswa dapat ditingkatkan dan proses belajar mengajar dapat dilakukan di mana dan kapan saja, serta sikap belajar siswa dapat ditingkatkan.
Adapun sebagian tampilan multimedia yang penulis gunakan seperti pada gambar berikut :
Gambar 1
2.2 Pengertian belajar
Untuk memahami tentang pengertian belajar di sini akan diawali dengan mengemukakan beberapa definisi tentang belajar. Ada beberapa pendapat para ahli tentang definisi tentang belajar.
Menurut M.Ngalim Purwanto (1984:”17) mengemukakan tentang belajar yaitu sebagai berikut :
“Belajar berhubungan dengan tingkah laku sesorang terhadap sesuatu tertentu yang di sebabkan oleh pengalamannya yang berulanga-ulang dalam situasi itu, dimana perubahan tingkah laku itu tidak dapat dijelaskan atau dasar kecenderungan espon pembawaan,kematangan,keadaan-keadaan sesaat seseorang
Cronbach, Harold Spears dan Geoch dalam Sardiman A.M (2005:20) sebagai berikut
1) Cronbach memberikan definisi :
“Learning is shown by a change in behavior as a result of experience”.
“Belajar adalah memperlihatkan perubahan dalam perilaku sebagai hasil dari pengalaman”.
2) Harold Spears memberikan batasan:
“Learning is to observe, to read, to initiate, to try something themselves, to listen, to follow direction”.
Belajar adalah mengamati, membaca, berinisiasi, mencoba sesuatu sendiri, mendengarkan, mengikuti petunjuk/arahan.
3) Geoch, mengatakan :
“Learning is a change in performance as a result of practice”.
Belajar adalah perubahan dalam penampilan sebagai hasil praktek.
Pengertian belajar juga dikemukakan oleh Slameto (1991:2)
yakni belajar adalah suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya.
Menurut The Lian Gie (1979:6) mengatakan bahwa Belajar
adalah segenap rangkaian atau aktivitas yang dilakukan secara sadar oleh sesorang dan mengakibtkan perubahan dalam dirinya berupa penambahan pengetahuan atau kemahiran sedikit banyak permanen sedangkan menurut Winarno Surachmat ( 1985: 52) belajar adalah mengalami yang berarti menghayati sesuatu situasi actual penghayatan dimana menimbulkan respon dari pihak peserta didik pengalaman yang berupa pelajaran akan menghasilan pematangan dan pendewasaan pada tingkah laku, perubahan dalam perbendaharaan konsep (pengertian) serta dalam kelayakan informasi.
Dengan demikian dari beberapa difinisi diatas dapat di simpulkan bahwa belajar adalah Belajar berhubungan dengan tingkah laku sesorang terhadap sesuatu tertentu yang di sebabkan oleh pengalamannya yang berulang-ulang dalam situasi tertentu, dimana terjadi perubahan tingkah laku atau penampilan, dengan serangkaian kegiatan misalnya dengan membaca, mengamati, mendengarkan, meniru dan lain sebagainya. Juga belajar itu akan lebih baik kalau si subyek belajar itu mengalami atau melakukannya, jadi tidak bersifat verbalistik respon pembawaan,kematangan,keadaan-keadaan sesaat seseorang ,Belajar juga dapat memperlihatkan perubahan dalam perilaku sebagai hasil dari pengalaman.
. Belajar sebagai kegiatan individu merupakan rangsangan-rangsangan individu yang dikirim kepadanya oleh lingkungan. Dengan demikian terjadinya kegiatan belajar yang dilakukan oleh seorang individu dapat dijelaskan dengan rumus antara individu dan lingkungan. suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya. Segenap rangkaian atau aktivitas yang dilakukan secara sadar oleh sesorang dan mengakibatkan perubahan dalam dirinya berupa penambahan pengetahuan atau kemahiran belajar berarti menghayati sesuatu situasi actual dari pihak peserta didik yang berupa pelajaran yang akan menghasilan pematangan dan pendewasaan pada tingkah laku dan perubahan dalam perbendaharaan konsep serta dan kelayakan informasi terkini.
2.3 Pengertian prestasi belajar
Prestasi belajar di bidang pendidikan adalah hasil dari pengukuran terhadap peserta didik yang meliputi faktor kognitif, afektif dan psikomotor setelah mengikuti proses pembelajaran yang diukur dengan menggunakan instrumen tes atau instrumen yang relevan. Jadi prestasi belajar adalah hasil pengukuran dari penilaian usaha belajar yang dinyatakan dalam bentuk simbol, huruf maupun kalimat yang menceritakan hasil yang sudah dicapai oleh setiap anak pada periode tertentu. Prestasi belajar merupakan hasil dari pengukuran terhadap peserta didik yang meliputi faktor kognitif, afektif dan psikomotor setelah mengikuti proses pembelajaran yang diukur dengan menggunakan instrumen tes yang relevan.
Kemampuan intelektual peserta didik sangat menentukan keberhasilan peserta didik dalam mempeoleh prestasi. Untuk mengetahui keberhasilan seseorang dalam belajar maka perlu dilakukan evaluasi, tujuannya untuk mengetahui prestasi yang diperoleh peserta didik setelah proses belajar mengajar berlangsung.
Prestasi belajar merupakan hal yang tidak dapat dipisahkan dari kegiatan belajar, karena kegiatan belajar merupakan proses, sedangkan prestasi merupakan hasil dari proses belajar. Memahami pengertian prestasi belajar secara garis besar harus bertitik tolak kepada pengertian belajar itu sendiri.
Prestasi belajar, Poerwanto (1986:28) memberikan pengertian
“prestasi belajar yaitu hasil yang dicapai oleh seseorang dalam usaha belajar sebagaimana yang dinyatakan dalam raport.”
Selanjutnya Winkel (1996:162) mengatakan bahwa
“prestasi belajar adalah suatu bukti keberhasilan belajar atau kemampuan seseorang siswa dalam melakukan kegiatan belajarnya sesuai dengan bobot yang dicapainya.”
Sedangkan menurut S. Nasution (1996:17)
“Prestasi belajar adalah: Kesempurnaan yang dicapai seseorang dalam berfikir, merasa dan berbuat. Prestasi belajar dikatakan sempurna apabila memenuhi tiga aspek yakni: kognitif, affektif dan psikomotor, sebaliknya dikatakan prestasi kurang memuaskan jika seseorang belum mampu memenuhi target dalam ketiga kriteria tersebut.”
Berdasarkan pengertian di atas, maka dapat dijelaskan bahwa prestasi belajar merupakan tingkat kemanusiaan yang dimiliki siswa dalam menerima, menolak dan menilai informasi-informasi yang diperoleh dalam proses belajar mengajar. Prestasi belajar seseorang sesuai dengan tingkat keberhasilan sesuatu dalam mempelajari materi pelajaran yang dinyatakan dalam bentuk nilai atau raport setiap bidang studi setelah mengalami proses belajar mengajar.
Prestasi belajar siswa dapat diketahui setelah diadakan evaluasi. Hasil dari evaluasi dapat memperlihatkan tentang tinggi atau rendahnya prestasi belajar siswa.
2.4 Tinjauan Tentang Lingkaran
2.4.1 Pengertian Lingkaran dan unsur-unsurnya
Sunardi dan Haryanta (2002:89) mengatakan bahwa Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik tertentu, titik tertentu disebut pusat lingkaran, jarak yang sama terhadap titik tertentu dinamakan jari-jari lingkaran. Bagian –bagian lingkaran antara lain jari-jari lingkaran busur, tali busur ,apothema, diameter, tembereng dan juring, anak panah
. Gambar 2
Gambar 1 adalah gambar lingkaran dengan pusat O
Titik O adalah pusat lingkaran
Ruas garis OA = OB = OC = OE adalah jari-jari lingkaran (r)
Garis AB adalah garis tengah ( diameter = d )
Garis lengkung AC, garis lengkung CB dan garis lengkung CB dan garis lengkung BA adalah busur lingkaran
Garis BC disebut tali busur
Bagian lingkaran yang dibatasi oleh jari-jari OB,OC dan garis lengkung BC disebut juring lingkaran, jadi juring adalah bagian lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busurnya.
Bagian lingkaran yang dibatasi garis lurus BC dan garis lengkung BC disebut tembereng.
Jadi tembereng adalah bagian lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dan tali busurnya pada sebuah lingkaran
Garis OD disebut aphotema
Garis DE disebut anak panah
2.4.2 Keliling dan Luas lingkaran
a. perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameter (d) = π jadi keliling lingkaran adalah diameter dikali dengan π atau jika dinyatakan dengan rumus adalah K = π d atau k= 2πr , dimana π =22/7 atau 3,14
b. Luas lingkaran
mencari luas lingkaran dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut
Membuat lingkaran yang panjang jari-jarinya 10 cm
Membagi lingkaran menjadi dua bagian yang sama dengan cara membuat diameter dan membuat warna yang berbeda
Membagi lingkaran menjadi juring-juring dengan besar sudut pusat masing-masing 30o
Membagi salah satu juring menjadi dua bagian yang sama
Menggunting lingkaran tersebut sesuai dengan juring-juring yang terjadi
Meletakkan potongan-potongan dari juring-juringtersebut secara berdampingan
Jika juring-juring lingkaran memiliki sudut-sudut pusat semakin kecil missal 150 ,maka bangun yang terjadi sangat mendekati bentuk persegi panjang dengan panjang sama dengan setengah lingkaran dan lebarnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran ,sehingga
Luas lingkaran = luas persegi panjang yang terjadi
= panjang x lebar
= πr x r
= πr^2
Maka luas lingkaran adalah Ï€r^2 , hubungan antara jari –jari lingkaran adalah setengah diameter lingkaran atau ( r = ½ d ) maka untuk luas lingkaran dapat juga di nyatakan dengan L=1/4Ï€d^2 dimana L luas lingkaran d diameter dengan Ï€=22/7 atau 3,14
2.4.3 Hubungan antara sudut pusat,panjang busur dan luas juring
(
Panjang busur AB=(sudut AOB)/〖360〗^0 x keliling lingkaran
= (
= (
2.5 Kerangka berpikir
Dalam melaksanakan pembelajaran guru bertindak sebagai fasilisator untuk mengembangkan potensi yang dimiliki peserta didik dengan harapan memperoleh hasil yang maksimal sesuai dengan tujuan yang dirancang dalam rencana pelaksanaan pembelajaran. Demikian pula dengan pembelajaran matematika pada tingkat sekolah menengah pertama yang bertujuan untuk mendapatkan prestasi belajar yang di inginkan. Prestasi belajar matematika ini dapat meliputi aspek kognitif, psikomotor dan afektif. Prestasi belajar kognitif diperoleh melalui tes.
Sampai saat ini matematika masih dianggap sebagai mata pelajaran yang sulit bagi sebagian peserta didik. Terbukti dengan hasil belajar peserta didik pada pelajaran matematika masih relative rendah. Banyak alasan yang yang melatar belakangi hal tersebut, antara lain matematika sulit disebabkan karena banyaknya rumus-
rumus matematika yang harus dipahami dan mampu diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.
Untuk mengatasi masalah pencapaian prestasi belajar siswa sesuai dengan yang diharapkan pada mata pelajaran matematika berbagai cara telah diusahakan oleh guru matematika untuk meningkatkan prestasi belajar peserta didik salah diantaranya dengan menggunakan beberapa metode maupun strategi baru untuk mengajarkan mata pelajaran matematika ,ada kalanya juga menggunakan media atau alat bantu pembelajaran seperti alat peraga matematika ataupun lembar kerja untuk peserta didik yang dengan maksud untuk meningkatkan prestasi belajarnya.
Pembelajaran dengan menggunakan multimedia interaktiv diharapkan dapat menjadikan alternative untuk meningkatkan prestasi belajar peserta didik. Hal ini tentunya berbeda dengan pembelajaran yang tidak menggunakan menggunakan multimedia interaktiv .
2.6 Hipotesis
“Pembelajaran dengan menggunakan multimedia interaktiv dapat meningkatkan prestasi belajar peserta didik pada pokok bahasan lingkaran di kelas VIII SMP Negeri 3 Luwuk “
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat Dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 3 Luwuk , lokasi penelitian dipilih dengan pertimbangan bahwa menurut pendapat beberapa peserta didik Khususnya kelas VIII bahwa dalam pembelajaran matematika yang dilakukan saat ini kurang menarik sehingga banyak peserta didik kurang memahami materi dan hasil yang diperoleh kurang maksimal dan antara peneltii dengan pihak sekolah mempunyai hubungan yang baik karena peneliti adalah sebagai salah satu tenaga honorer di SMP Negeri 3 Luwuk.
Adapun waktu penelitian direncanakan dilaksanakan selama 3 bulan mulai bulan Januari sampai dengan Maret 2011
3.2 Prosedur Penelitian
Penelitian tindakan kelas adalah suatu penelitian yang dilakukan secara sistematis reflektif terhadap berbagai aksi atau tindakan yang dilakukan oleh guru yang sekaligus eneliti mulai dari perencanaan sampai dengan penilaian terhadap tindakan yang nyata di dalam kelas yang berupa kegiatan pembelajaran untuk memperbaiki kondisi pembelajaran yang dilakukan. Oleh karena itu rancangan penelitian yang digunakan adalah mengacu pada rancangan penelitian kualitatif. Hal ini sesuai dengan apa yang didefinisikan oleh Bogdan dan Taylor (dalam Hadi, 1998:56) bahwa penelitian kualitatif adalah prosedur penelitian yang menghasilkan data deskriptif berupa kata-kata tertulis dari orang-orang atau perilaku yang diamati.
Adapun prinsip-prinsip dasar yang berlaku dalam penelitian tindakan ini yang menurut Waseso ( dalam Usman ,2001:23) penilitian tindakan merupakan proses daur ulang, mulai dari tahap perencanaan, pelaksanaan tindakan dan pemantauan serta refleksi yang mungkin diikuti dengan perencanaan ulang. Dengan demikian secara lebih rinci rancangan penelitian ini meliputi hal-hal sebagai berikut :
Penelitian ini adalah penelitian tindakan kelas yang bertujuan untuk mendiskripsikan suatu proses kegiatan belajar berdasarkan apa yang terjadi dilapangan sebagai bahan kajian lebih lanjut untuk menemukan kekurangan dan kelemahan dalam kegiatan pembelajaran materi lingkaran sehingga dapat ditentukan upaya penyempurnaan. Karena itu desain penelitian ini mengacu kepada model Kemmis dan Taggart ( dalam Usman (2001:,49) yang terdiri dari empat komponen dalam satu siklus yaitu perencanaan, pelaksanaan tindakan , observasi dan evaluasi dan refleksi yang mungkin di ikuti penyempurnaan ulang terhadap implementasi siklus sebelumnya.
3.2.1. Rencana Tindakan
Rencana tindakan yang akan dilakukan dalam penelitian ini meliputi :
a. Skenario tindakan pembelajaran
b. Rencana pelaksanaan pembelajaran
c. Kreteria ketuntasan belajar
Kreteria ketuntasan belajar berdasarkan persentasi indicator yang dicapai yang ditetapkan standar skor perolehan adalah 75%
d. Kreteria keberhasilan tindakan
Kreteria keberhasilan tindakan dilihat dari kemampuan peserta didik dalam memahami materi lingkaran yang telah dipelajari
e. Personil yang dilibatkan
Personil yang akan dilibatkan dalam penelitian ini adalah guru matematika SMP Negeri 3 Luwuk
f. Pengadaan alat dalam pelaksanaan tindakan
Penelitan ini termasuk kategori penelitian tindakan kelas yang berbasis kualitatif, maka instrument penelitian ini adalah penelitian sendiri. Disamping itu instrument yang lain yang yaitu multimedia interaktif ,lembar tes, lembar observasi.
3.2.2 Pelaksanaan Tindakan
Pelaksanaan tindak pada penelitian ini adalah melakukan kegiatan pembelajaran yang telah direncanakan dengan mengacu pada scenario pembelajaran. Pelaksanaan tindakan ini akan direncanakan satu siklus, namun akan dilanjutkan pada siklus berikutnya jika pada siklus pertama belum berhasil, yang dilaksanakan sesuai dengan perubahan yang ingin dicapai dengan memperbaiki kekurangan yang terdapat pada siklus sebelumnya, misalnya apabila pada siklus pertama tindakan berhasil yaitu pencapaian prestasi belajar belum memenuhi standar yang telah di tetapkan minimal 75% karena masih banyak dari peserta didik yang belum mampu memahami materi lingkaran, maka sehubungan dengan ini tindakan dilanjutkan pada siklus kedua sebagai perbaikan.
Prosedur tindakan dalam penelitian ini adalah pemberian lembar tes dan lembar observasi, yang diuraikan sebagai berikut :
a. Lembar tes
Lembar tes terdiri dari tes awal yang diberikan pada pratindakan yang bertujuan untuk mengetahui pengetahuan dan kemampuan awal peserta didik. Selanjutnya tes siklus I yang diberikan pada akhir tindakan siklus I yang bertujuan untuk mengetahui tingkat kemampuan peserta didik dalam memahami materi lingkaran yang telah dipelajari. Dan apabila pada tes siklus I belum mencapai standar yang telah ditetapkan (miniman 75 % ) maka dilanjutkan pada tes siklus II yang diberikan pada akhir tindakan siklus II dengan tujuan perbaikan kekurangan-kekurangan dalam pembelajaran pada siklus sebelumnya.
b. Lembar observasi
Lembar observasi terdiri dari dua bagian yaitu lembar observasi peserta didik dan lembar observasi guru. Pada lembar observasi peserta dididk ini kita tempatkan peserta didik itu sendiri sebagai subyek yang kita teliti, diamati secara langsung aktivitasnya dalam mengikuti pembelajaran yang diterapkan sesuai dengan format yang telah disediakan. Sedangkan pada lembar observasi guru dimana guru juga dijadikan sebagai subyek penelitian, kita melihat ketrampilan guru yang meliputi 1.)Persiapan program satuan pembelajaran, persiapan program satuan pembelajaran ini terdiri dari perumusan tujuan pembelajaran khusus, penjabaran materi, alat pelajaran, serta langkah-langkah kegiatan pembelajaran. 2) Kegiatan pembelajaran. Dimana kegiatan pembelajran ini terdiri dari empat tahapan yaitu pendahuluan, pengembangan, penerapan dan penutup.
3.2.3 Rencana Pencatatan Data Dan Pengolahannya Atau Penafsiran Data.
Untuk memudahkan pencatatan data selama pembelajaran berlangsung peneliti menggunakan lembar observasi yang meliputi keaktifan peserta didik dalam mengikuti pembelajaran dan ketrampilan guru dalam menyajikan pembelajran sesuai dengan apa yang terjadi dilapangan sehingga data yang diperoleh menjadi acuan dalam mendiskripsikan proses dan keberhasilan kegiatan pembelajaran yang dilakukan.
3.3 Jenis Dan Cara Pengumpulan Data
Penelitian tindakan ini termauk jenis penelitan kualitaif, sehingga pada dasarnya jenis data penelitian tindakan berupa kata-kata yang dilengkapi dengan tabel respon dan verifikasi respon subyek terhadap tugas yang diberikan. Data ini meliputi : hasil tes, hasil observasi sehingga dapat dijadikan dasar dalam melakukan tindakan perbaikan, adapun cara pengumpulan data dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Data hasil tes
Data hasil tes terbagai menjadi :1) Data hasil tes awal, 2) Data hasil tes siklus I dan 3) Data siklus II, dengan ketentuan apabilla data hasil tes siklus I belum mencapai standar (minimum 75 % ) yang telah ditentukan.
2. Data hasil observasi terhadap aktifitas peserta didik dan guru dalam pembelajaran
3. Data hasil wawancara
Data hasil wawancara guru, yaitu dengan mengadakan dialog antara peneliti dengan guru matematika kelas VIII SMP Negeri 3 Luwuk, wawancara ini dilakukan untuk mengetahui metoda dan media apa yang telah diterapkan selama ini kepada peserta didik,
3.4 Tahap – Tahap Penelitian
3.4.1 Pratindakan
Kegiatan pra tindakan adalah pemberian tes awal kepada peserta didik untuk mengetahui kemampuan awal peserta didik mengenai materi lingkaran. Tes ini dilakukan kepada peserta didik kelas VIII dan dikerjakan secara perorangan. Sebelum dimulai peneliti menjelaskan kepada peserta didik tentang tujuan dilakukan tes ini, cara pengerjaan yang digunakakan untuk menyelesaikan tes ini . Selanjutnya peneliti mengoreksi hasil pekerjaan peserta didik.
3.4.2 Pelaksanaan Tindakan
Prosedur kegiatan yang dilakukan dalam penelitian tindakan kelas ini adalah satu siklus saja, namun jika pada siklus satu belum berhasil maka akan dilanjutkan pada siklus kedua. Setiap siklus disesuaikan dengan perubahan yang ingin dicapai yaitu pembelajaran yang beranjak dari kesulitan yang dialami oleh peserta didik atau kebutuhan peserta didik tetang konsep yang sulit dipahaminya sebelum melanjutkan soal-soal latihan selanjutnya. Peserta didik diukur pencapaian hasil belajarnya sesuai dengan standar kompetensi yang dicapai oleh peserta didik serta penyempurnaan tindakan yang ditemukan pada siklus sebelumya, agar tujuan pembelajaran yang diinginkan tercapai. Untuk lebih jelas , prosedur penelitian ini diurut sebagai berikut :
a. Siklus I
1. Perencanaan
Kegiatan yang dilakukan pada tahap ini dalah peneliti merencanakan atau menyusun scenario pembelajaran yang dipakai dalam pembahasan maeri lingkaran, yang mencakup hal-hal sebagai berikut :
a. Menentukan tujuan pembelajaran yang akan dicapai
b. Menerapkan metode penyajian materi yang telah dipilih
c. Merancang soal-soal untuk peserta didik
d. Pengecekan penyelesaian hasil pekerjaan peserta didik
e. Membuat lembar observasi, yaitu untuk melihat kondisi pembelajaran yang dilaksanakan
f. Mendesain alat evaluasi untuk mengetahui hasil belajar prestasi belajar peserta didik
2. Tindakan
Pada proses tindakan ada tiga prosedur yang akan peneiliti jalankan . ketiga prosedur itu adalah sebagai berikut :
1. Pendahuluan
Kegiatan dalam tahap ini diawali dengan memberi motivasi, mengingatkan kembali pengetahuan prasyarat dan menjelaskan tujuan pembelajaran.
2. Penyajian materi
Kegiatan dalam tahap ini adalah peneliti meminta kepada peserta didik untuk membentuk kelompok belajar dan masing-masing kelompok untuk memperhatikan tampilan multimedia interaktif yang ditampilkan melalui layar LCD dan mendiskusikannya. Diskusi dapat dilakukan antar kelompok atau seluruh kelas..
3. Penerapan
Setelah peneliti dan peserta didik selesai membahas materi lingkaran dan contoh-contoh soal bersama-sama,maka peneliti selanjutnya memberikan soal tes akhir siklus I. soal diberikan secara perorangan. Setelah guru memeriksa pekerjaan peserta didik dan memberikan skor, maka peneliti dapa mengatagorikan pembelajaran yang dilakukan pada siklus I tuntas atau tidak tuntas yang mengacu pada standar yang ada (minimal 75 %) . apabila pencapaian peserta didik lebih atau sama dengan 75 %, maka dikategorikan tuntas dan apabila kurang 75 % maka pencapaian peserta didik tidak tuntas.
4. Obsevasi
Kegiatan observasi dilakukan secara bersama-sama oleh peneliti, dan guru mata pelajaran matematika
5. Refleksi
Apabila berdasarkan hasil evaluasi dan hasil observasi penelitian yang dikumpulkan dan setelah dianalisis belum berhasil, karena pencapaian peserta didik masih banyak yang kurang dari 75 % ,maka tindakan selanjutnya adalah mengadakan perbaikan pada siklus II
3.5 Teknik Analisis Data
Langkah–langkah yang dilakukan dalam kegiatan menganalisa data dari hasil penelitian ini ada tiga tahap yaitu :
1. Reduksi
Proses penyederhanaan data yang diharapkan dapat memberikan gambaran dan menjadi informasi yang bermakna sehingga peneliti mudah menarik kesimpulan
2. Paparan data
Proses penampilan data secara lebih sederhana dalam bentuk tabel ataupun secara naratif. Paparan data yang dimaksud adalah uraian tentang proses pembelajaran, kesulitan dan kesalahan yang sering dialami peserta didik dalam mempelajari materi lingkaran serta hasil yang diperoleh setelah diberikan tindakan serta bagaimana solusinya.
3. Penyimpulan data
Proses pengambilan rangkuman dari sajian data yang telah dipaparkan dalam bentuk pernyataan kalimat atau informasi yang singkat, jelas dan bermakna
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pendidikan adalah usaha sadar dan sistemastis, yang dilakukan orang- orang yang diserahi tanggung jawab untuk mempengaruhi peserta didik agar mempunyai sifat dan tabiat sesuai dengan cita-cita pendidikan (Achmad Munib, 2004:34). Pendidikan ialah pimpinan yang diberikan dengan sengaja oleh orang dewasa kepada anak-anak, dalam pertumbuhannya (jasmani dan rohani) agar berguna bagi diri sendiri dan bagi masyarakat (M. Ngalim Purwanto, 2002:10). Dalam arti lain, pendidikan merupakan pendewasaan peserta didik agar dapat mengembangkan bakat, potensi dan ketrampilan yang dimiliki dalam menjalani kehidupan, oleh karena itu sudah seharusnya pendidikan didesain guna memberikan pemahaman serta meningkatkan prestasi belajar peserta didik (siswa). Prestasi belajar siswa di sekolah sering diindikasikan dengan permasalahan belajar dari siswa tersebut dalam memahami materi. Indikasi ini dimungkinkan karena faktor belajar siswa yang kurang efektif, bahkan siswa sendiri tidak merasa termotivasi di dalam mengikuti pembelajaran di kelas. Sehingga menyebabkan siswa kurang atau bahkan tidak memahami materi yang bersifat sukar yang di berikan oleh guru tersebut. Kecenderungan pembelajaran yang kurang menarik ini merupakan hal yang wajar di alami oleh guru yang tidak memahami kebutuhan dari siswa tersebut baik dalam karakteristik, maupun dalam pengembangan ilmu. Dalam hal ini peran seorang guru sebagai pengembang ilmu sangat besar untuk memilih dan melaksanakan pembelajaran yang tepat dan efisien bagi peserta didik bukan hanya pembelajaran berbasis konvensional. Pembelajaran yang baik dapat ditunjang dari suasana pembelajaran yang kondusif serta hubungan komunikasi antara guru, siswa dapat berjalan dengan baik. Berangkat dari hal tersebut multimedia interaktif dalam kelas dikembangkan atas dasar asumsi bahwa proses komunikasi di dalam pembelajaran akan lebih bermakna (menarik minat siswa dan memberikan kemudahan untuk memahami materi karena penyajiannya yang interaktif), jika memanfaatkan berbagai media sebagai sarana penunjang kegiatan pembelajaran. Dari segi pengertian, multimedia interaktif dapat di artikan sebagai kombinasi berbagai unsur media yang terdiri dari teks, grafis, foto, animasi, video, dan suara yang disajikan secara interaktif dalam media pembelajaran.
Pembelajaran matematika akan menuju arah yang benar dan berhasil apabila mengetahui karakteristik yang dimiliki matematika. Matematika memiliki karakteristik tersendiri baik ditinjau dari aspek kompetensi yang ingin dicapai, maupun dari aspek materi yang dipelajari untuk menunjang tercapainya kompetensi. Di tinjau dari aspek kompetensi yang ingin dicapai matematika menekankan penguasaan konsep dan algoritma serta ketrampilan untuk memecahkan masalah dengan menggunakan media pembelajaran yang tepat . Bagaimana dengan menggunakan media pembelajaran itu di integrasikan ke dalam kegiatan belajar mengajar matematika akan efektif bagi peserta didik .
Mengajar merupakan suatu perbuatan yang memerlukan tanggung jawab moral, maka berhasilnya pedidikan peserta didik secara formal terletak pada tanggung jawab guru dalam melaksanakan tugas pokok mengajar. Mengajar pada prinsipnya adalah membimbing peserta didik dalam proses kegiatan belajar mengajar. Dengan kata lain mengajar merupakan suatu usaha mengorganisasikan lingkungan dalam hubungannya dengan anak didik dan bahan pengajaran sehingga menimbulkan proses belajar pada diri peserta didik.
Pandangan guru terhadap mengajar akan mempengaruhi peranan dan aktivitasnya dalam mengajar. Aktivitas guru dalam mengajar dan aktivitas peserta didik dalam belajar sangat tergantung pada pemahaman guru terhadap mengajar. Kualitas proses kegiatan belajar sangat dipengaruhi oleh metode mengajar dan penggunaan media yang diterapkannya. Media adalah salah satu alat untuk mencapai tujuan pengajaran. Efektifitas penggunaan media dapat terjadi bila ada kesesuaian antara metode dengan semua komponen pengajaran yang telah diprogramkan dalam satuan pelajaran sebagai persiapan tertulis.
Dalam kaitannya dengan metode mengajar terkandung dua unsur yaitu unsur kegiatan guru dan unsur kegiatan peserta didik , guru membawa peserta didik kearah tujuan, peserta didik melakukan serangkaian kegiatan yang disediakan guru, dalam hal ini peserta didik dipandang sebagai titik pusat terjadinya proses belajar. Peserta didik sebagai subyek yang berkembang melalui pengalaman belajar. Guru lebih berperan sebagai fasilisator dan motivasi belajar peserta didiknya. Kegiatan guru dan peserta didik ini terjadi interaksi yang berlansung dalam proses belajar mengajar. Untuk mencapai tujuan yang diharapkan, guru harus menguasai berbagai metode dan media mengajar untuk dipergunakan di dalam kelas.
Guru dalam menyampaikan materi pelajaran di tuntut untuk lebih kreatif sehingga peserta didik merasa senang pada saat proses belajar di kelas , dalam hal ini guru haruslah selalu berinovasi dalam pembelajarannya , berinovasi dalam banyak hal, diantaranya dengan memakai media multimedia interaktif .
Menurut hasil survey awal dan informasi dari guru matematika yang penulis dapatkan bahwa masih ada berberapa peserta didik yang ada di SMP Negeri 3 Luwuk prestasinya masih rendah tidak mencapai kreteria ketuntasan minimum (KKM), ini disebabkan guru dalam proses pembelajaran yang hanya dilakukan dengan menceramahkan konsep dan prinsip yang sudah jadi. kondisi ini di tambah lagi dengan kurangnya guru menerapkan media pembelajaran yang berorientasi pada peserta didik, sehingga peserta didik tidak termotivasi untuk berfikir dan membangun gagasan . Rendahnya minat , aktifitas dan motivasi belajar peserta didik terhadap pembelajaran matematika yang berpengaruh pada prestasi belajar peserta didik. Guru dalam hal mengajar matematika khususnya pada pokok bahasan lingkaran lebih banyak menggunakan metode ceramah ini kurang tepat ,mengingat penggunaan metode tersebut memuat peserta didik hanya mencerna informasi yang diberikan guru yang sifatnya searah. Dengan demikian peserta didik akan sulit memahami konsep yang diajarkan oleh guru sehingga akan berdampak pada rendahnya prestasi belajar peserta didik pada pokok bahasan lingkaran.
Berdasarkan permasalah diatas, maka dalam pembelajaran matematika khususnya pada kompetensi dasar lingkaran perlu adanya pembaharuan dan proses pembelajaran agar permasalahan tersebut tidak terjadi lagi. Dalam hal ini perlu adanya peningkatan prestasi belajar peserta didik pada kompetensi dasar lingkaran. Salah satu upaya yang dapat dilaksanakan adalah dengan memilih media pembelajaran yang tepat.
Dalam penelitian ini multimedia interaktif dipilih peneliti karena dalam proses pembelajaran lebih menarik, lebih interaktif, jumlah waktu mengajar dapat dikurangi, kualitas belajar siswa dapat ditingkatkan dan proses belajar mengajar dapat dilakukan di mana dan kapan saja, serta sikap belajar siswa dapat ditingkatkan
Berbagai keunggulan penerapan multimedia interaktif meliputi: 1) multiple media, maksudnya teks, audio, grafik, gambar diam dan gambar gerak dapat dikombinasikan dalam suatu sistem yang mudah dioperasikan, 2) learner participation, maksudnya materi multimedia dapat membantu memelihara perhatian peserta didik dan memberikan peluang lebih kepada peserta didik untuk berpartisipasi ketimbang bentuk lain.3) Individualization, maksudnya penyajian pencabangan materi multimedia melepaskan kendali belajar sepenuhnya pada peserta didik khususnya dalam proses pembelajaran. 4) Flexibility, maksudnya peserta didik memiliki kebebasan dalam memilih pelajaran, mengevaluasi pemahaman, sesuai dengan minat dan keinginan melalui menu. 5) multimedia interaktif lebih mendukung belajar mandiri ketimbang belajar bersama.
Berdasarkan uraian diatas, penulis bermaksud mengadakan penelitian tindakan kelas (PTK) yang di formulasikan dalam judul “Upaya meningkatkan prestasi belajar peserta didik melalui penggunaan multimedia interaktif pada kompetensi dasar lingkaran di SMP Negeri 3 Luwuk”
B.Identifikasi Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang diatas maka permasalahan yang muncul pada penelitian adalah :
1. Kurang tepatnya penggunaan media pembelajaran kompetensi dasar lingkaran
2. Rendahnya prestasi belajar peserta didik pada kompetensi dasar lingkaran
C.Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan indentifikasi masalah diatas , maka peneliti dapat rumuskan “ Apakah dengan menggunakan multimedia interaktif hasil belajar peserta didik pada kompetensi dasar lingkaran dapat meningkat ?”
D. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah :
Hasil belajar peserta didik kelas VIII SMP Negeri 3 Luwuk tahun pelajaran 2010 / 2011 khususnya kompetensi dasar lingkaran dapat meningkat melalui penggunaan multimedia interaktif.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Bagi Peneliti
a. Mendapatkan pengalaman langsung menerapkan multimedia interaktif
b. Mendapatkan bekal tambahan sebagai mahasiswa dan calon guru matematika sehingga siap melaksanakan tugas di lapangan
2. Bagi peserta didik
Bagi peserta didik SMP dapat meningkatkan hasil belajar matematika kompetensi dasar lingkaran.
3. Bagi guru
Bagi guru penelitian ini diharapkan dapat memberikan peningkatan mutu pembelajaran atau pendidikan melalui penggunaan multimedia interaktif terhadap peningkatan hasil belajar peserta didik SMP pada kompetensi dasar lingkaran.
F. Sistematika Pembahasan
Adapun sistematika pembahasan dalam penelitian ini disusun sebagai berikut :
BAB I : Pendahuluan,Latar Belakang, Identifikasi Masalah, Rumusan Masalah, Tujuan Penelitian ,Manfaat Penelitian Dan Sistematika Pembahasan
BAB II : Tinjauan Pustaka, Menguraikan tentang pengertian belajar, prestasi belajar,pengertian peserta didik,multimedia interaktif, tinjauan tentang kompetensi dasar , kerangka berpikir, hipotesis tindakan.
BAB III : Metodologi penelitian. Menguraikan tentang langkah langkah penelitian, prosedur penelitian, data dan teknik pengambilan data.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Multimedia Interaktif
Multi media menurut bahasa Multi (latin Nouns) adalah banyak bermacam –macam, sedangkan medium adalah sesuatu yang dipakai untuk menyampaikan atau membawa sesuatu . Multimedia adalah media yang menggabungkan dua unsur atau lebih media yang terdiri dari teks, grafis, gambar, foto, audio, video dan animasi secara terintegrasi. Multimedia terbagi menjadi dua kategori, yaitu: multimedia linier dan multimedia interaktif. Multimedia linier adalah suatu multimedia yang tidak dilengkapi dengan alat pengontrol apapun yang dapat dioperasikan oleh penguna. Multimedia ini berjalan sekuensial (berurutan), contohnya: TV dan film. Multimedia interaktif adalah suatu multimedia yang dilengkapi dengan alat pengontrol yang dapat dioperasikan oleh pengguna, sehingga pengguna dapat memilih apa yang dikehendaki untuk proses selanjutnya. Contoh multimedia interaktif adalah: multimedia pembelajaran interaktif, aplikasi game, dll. Dalam multimedia interaktif memungkinkan terjadinya proses belajar. Jadi dalam pembelajaran yang utama adalah bagaimana siswa belajar. Belajar dalam pengertian aktifitas mental siswa dalam berinteraksi dengan lingkungan yang menghasilkan perubahan perilaku yang bersifat relatif konstan.
Dengan demikian aspek yang menjadi penting dalam aktifitas belajar adalah Bagaimana menata unsur-unsurnya pembelajaran dapat mengubah perilaku siswa. Dari uraian di atas, apabila kedua konsep tersebut kita gabungkan maka multimedia interaktif dapat diartikan sebagai aplikasi multimedia yang digunakan dalam proses pembelajaran, dengan kata lain untuk menyalurkan pesan (pengetahuan, keterampilan dan sikap) serta dapat merangsang piliran, perasaan, perhatian dan kemauan yang belajar sehingga secara sengaja proses belajar terjadi, sesuai dengan tujuan
Menurut Mulyani (2010) Berbagai keunggulan penerapan multimedia interaktif meliputi: 1) multiple media, maksudnya teks, audio, grafik, gambar diam dan gambar gerak dapat dikombinasikan dalam suatu system yang mudah dioperasikan, 2) learner participation, maksudnya materi multimedia dapat membantu memelihara perhatian peserta didik dan memberikan peluang lebih kepada peserta didik untuk berpartisipasi ketimbang bentuk lain.3) Individualization, maksudnya penyajian pencabangan materi multimedia melepaskan kendali belajar sepenuhnya pada peserta didik khususnya dalam proses pembelajaran. 4) Flexibility, maksudnya peserta didik memiliki kebebasan dalam memilih pelajaran, mengevaluasi pemahaman, sesuai dengan minat dan keinginan melalui menu. 5) multimedia interaktif lebih mendukung belajar mandiri ketimbang belajar bersama.
Secara umum manfaat yang dapat diperoleh adalah proses pembelajaran lebih menarik, lebih interaktif, jumlah waktu mengajar dapat dikurangi, kualitas belajar siswa dapat ditingkatkan dan proses belajar mengajar dapat dilakukan di mana dan kapan saja, serta sikap belajar siswa dapat ditingkatkan.
Adapun sebagian tampilan multimedia yang penulis gunakan seperti pada gambar berikut :
Gambar 1
2.2 Pengertian belajar
Untuk memahami tentang pengertian belajar di sini akan diawali dengan mengemukakan beberapa definisi tentang belajar. Ada beberapa pendapat para ahli tentang definisi tentang belajar.
Menurut M.Ngalim Purwanto (1984:”17) mengemukakan tentang belajar yaitu sebagai berikut :
“Belajar berhubungan dengan tingkah laku sesorang terhadap sesuatu tertentu yang di sebabkan oleh pengalamannya yang berulanga-ulang dalam situasi itu, dimana perubahan tingkah laku itu tidak dapat dijelaskan atau dasar kecenderungan espon pembawaan,kematangan,keadaan-keadaan sesaat seseorang
Cronbach, Harold Spears dan Geoch dalam Sardiman A.M (2005:20) sebagai berikut
1) Cronbach memberikan definisi :
“Learning is shown by a change in behavior as a result of experience”.
“Belajar adalah memperlihatkan perubahan dalam perilaku sebagai hasil dari pengalaman”.
2) Harold Spears memberikan batasan:
“Learning is to observe, to read, to initiate, to try something themselves, to listen, to follow direction”.
Belajar adalah mengamati, membaca, berinisiasi, mencoba sesuatu sendiri, mendengarkan, mengikuti petunjuk/arahan.
3) Geoch, mengatakan :
“Learning is a change in performance as a result of practice”.
Belajar adalah perubahan dalam penampilan sebagai hasil praktek.
Pengertian belajar juga dikemukakan oleh Slameto (1991:2)
yakni belajar adalah suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya.
Menurut The Lian Gie (1979:6) mengatakan bahwa Belajar
adalah segenap rangkaian atau aktivitas yang dilakukan secara sadar oleh sesorang dan mengakibtkan perubahan dalam dirinya berupa penambahan pengetahuan atau kemahiran sedikit banyak permanen sedangkan menurut Winarno Surachmat ( 1985: 52) belajar adalah mengalami yang berarti menghayati sesuatu situasi actual penghayatan dimana menimbulkan respon dari pihak peserta didik pengalaman yang berupa pelajaran akan menghasilan pematangan dan pendewasaan pada tingkah laku, perubahan dalam perbendaharaan konsep (pengertian) serta dalam kelayakan informasi.
Dengan demikian dari beberapa difinisi diatas dapat di simpulkan bahwa belajar adalah Belajar berhubungan dengan tingkah laku sesorang terhadap sesuatu tertentu yang di sebabkan oleh pengalamannya yang berulang-ulang dalam situasi tertentu, dimana terjadi perubahan tingkah laku atau penampilan, dengan serangkaian kegiatan misalnya dengan membaca, mengamati, mendengarkan, meniru dan lain sebagainya. Juga belajar itu akan lebih baik kalau si subyek belajar itu mengalami atau melakukannya, jadi tidak bersifat verbalistik respon pembawaan,kematangan,keadaan-keadaan sesaat seseorang ,Belajar juga dapat memperlihatkan perubahan dalam perilaku sebagai hasil dari pengalaman.
. Belajar sebagai kegiatan individu merupakan rangsangan-rangsangan individu yang dikirim kepadanya oleh lingkungan. Dengan demikian terjadinya kegiatan belajar yang dilakukan oleh seorang individu dapat dijelaskan dengan rumus antara individu dan lingkungan. suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya. Segenap rangkaian atau aktivitas yang dilakukan secara sadar oleh sesorang dan mengakibatkan perubahan dalam dirinya berupa penambahan pengetahuan atau kemahiran belajar berarti menghayati sesuatu situasi actual dari pihak peserta didik yang berupa pelajaran yang akan menghasilan pematangan dan pendewasaan pada tingkah laku dan perubahan dalam perbendaharaan konsep serta dan kelayakan informasi terkini.
2.3 Pengertian prestasi belajar
Prestasi belajar di bidang pendidikan adalah hasil dari pengukuran terhadap peserta didik yang meliputi faktor kognitif, afektif dan psikomotor setelah mengikuti proses pembelajaran yang diukur dengan menggunakan instrumen tes atau instrumen yang relevan. Jadi prestasi belajar adalah hasil pengukuran dari penilaian usaha belajar yang dinyatakan dalam bentuk simbol, huruf maupun kalimat yang menceritakan hasil yang sudah dicapai oleh setiap anak pada periode tertentu. Prestasi belajar merupakan hasil dari pengukuran terhadap peserta didik yang meliputi faktor kognitif, afektif dan psikomotor setelah mengikuti proses pembelajaran yang diukur dengan menggunakan instrumen tes yang relevan.
Kemampuan intelektual peserta didik sangat menentukan keberhasilan peserta didik dalam mempeoleh prestasi. Untuk mengetahui keberhasilan seseorang dalam belajar maka perlu dilakukan evaluasi, tujuannya untuk mengetahui prestasi yang diperoleh peserta didik setelah proses belajar mengajar berlangsung.
Prestasi belajar merupakan hal yang tidak dapat dipisahkan dari kegiatan belajar, karena kegiatan belajar merupakan proses, sedangkan prestasi merupakan hasil dari proses belajar. Memahami pengertian prestasi belajar secara garis besar harus bertitik tolak kepada pengertian belajar itu sendiri.
Prestasi belajar, Poerwanto (1986:28) memberikan pengertian
“prestasi belajar yaitu hasil yang dicapai oleh seseorang dalam usaha belajar sebagaimana yang dinyatakan dalam raport.”
Selanjutnya Winkel (1996:162) mengatakan bahwa
“prestasi belajar adalah suatu bukti keberhasilan belajar atau kemampuan seseorang siswa dalam melakukan kegiatan belajarnya sesuai dengan bobot yang dicapainya.”
Sedangkan menurut S. Nasution (1996:17)
“Prestasi belajar adalah: Kesempurnaan yang dicapai seseorang dalam berfikir, merasa dan berbuat. Prestasi belajar dikatakan sempurna apabila memenuhi tiga aspek yakni: kognitif, affektif dan psikomotor, sebaliknya dikatakan prestasi kurang memuaskan jika seseorang belum mampu memenuhi target dalam ketiga kriteria tersebut.”
Berdasarkan pengertian di atas, maka dapat dijelaskan bahwa prestasi belajar merupakan tingkat kemanusiaan yang dimiliki siswa dalam menerima, menolak dan menilai informasi-informasi yang diperoleh dalam proses belajar mengajar. Prestasi belajar seseorang sesuai dengan tingkat keberhasilan sesuatu dalam mempelajari materi pelajaran yang dinyatakan dalam bentuk nilai atau raport setiap bidang studi setelah mengalami proses belajar mengajar.
Prestasi belajar siswa dapat diketahui setelah diadakan evaluasi. Hasil dari evaluasi dapat memperlihatkan tentang tinggi atau rendahnya prestasi belajar siswa.
2.4 Tinjauan Tentang Lingkaran
2.4.1 Pengertian Lingkaran dan unsur-unsurnya
Sunardi dan Haryanta (2002:89) mengatakan bahwa Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik tertentu, titik tertentu disebut pusat lingkaran, jarak yang sama terhadap titik tertentu dinamakan jari-jari lingkaran. Bagian –bagian lingkaran antara lain jari-jari lingkaran busur, tali busur ,apothema, diameter, tembereng dan juring, anak panah
. Gambar 2
Gambar 1 adalah gambar lingkaran dengan pusat O
Titik O adalah pusat lingkaran
Ruas garis OA = OB = OC = OE adalah jari-jari lingkaran (r)
Garis AB adalah garis tengah ( diameter = d )
Garis lengkung AC, garis lengkung CB dan garis lengkung CB dan garis lengkung BA adalah busur lingkaran
Garis BC disebut tali busur
Bagian lingkaran yang dibatasi oleh jari-jari OB,OC dan garis lengkung BC disebut juring lingkaran, jadi juring adalah bagian lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busurnya.
Bagian lingkaran yang dibatasi garis lurus BC dan garis lengkung BC disebut tembereng.
Jadi tembereng adalah bagian lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dan tali busurnya pada sebuah lingkaran
Garis OD disebut aphotema
Garis DE disebut anak panah
2.4.2 Keliling dan Luas lingkaran
a. perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameter (d) = π jadi keliling lingkaran adalah diameter dikali dengan π atau jika dinyatakan dengan rumus adalah K = π d atau k= 2πr , dimana π =22/7 atau 3,14
b. Luas lingkaran
mencari luas lingkaran dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut
Membuat lingkaran yang panjang jari-jarinya 10 cm
Membagi lingkaran menjadi dua bagian yang sama dengan cara membuat diameter dan membuat warna yang berbeda
Membagi lingkaran menjadi juring-juring dengan besar sudut pusat masing-masing 30o
Membagi salah satu juring menjadi dua bagian yang sama
Menggunting lingkaran tersebut sesuai dengan juring-juring yang terjadi
Meletakkan potongan-potongan dari juring-juringtersebut secara berdampingan
Jika juring-juring lingkaran memiliki sudut-sudut pusat semakin kecil missal 150 ,maka bangun yang terjadi sangat mendekati bentuk persegi panjang dengan panjang sama dengan setengah lingkaran dan lebarnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran ,sehingga
Luas lingkaran = luas persegi panjang yang terjadi
= panjang x lebar
= πr x r
= πr^2
Maka luas lingkaran adalah Ï€r^2 , hubungan antara jari –jari lingkaran adalah setengah diameter lingkaran atau ( r = ½ d ) maka untuk luas lingkaran dapat juga di nyatakan dengan L=1/4Ï€d^2 dimana L luas lingkaran d diameter dengan Ï€=22/7 atau 3,14
2.4.3 Hubungan antara sudut pusat,panjang busur dan luas juring
(
Panjang busur AB=(sudut AOB)/〖360〗^0 x keliling lingkaran
= (
= (
2.5 Kerangka berpikir
Dalam melaksanakan pembelajaran guru bertindak sebagai fasilisator untuk mengembangkan potensi yang dimiliki peserta didik dengan harapan memperoleh hasil yang maksimal sesuai dengan tujuan yang dirancang dalam rencana pelaksanaan pembelajaran. Demikian pula dengan pembelajaran matematika pada tingkat sekolah menengah pertama yang bertujuan untuk mendapatkan prestasi belajar yang di inginkan. Prestasi belajar matematika ini dapat meliputi aspek kognitif, psikomotor dan afektif. Prestasi belajar kognitif diperoleh melalui tes.
Sampai saat ini matematika masih dianggap sebagai mata pelajaran yang sulit bagi sebagian peserta didik. Terbukti dengan hasil belajar peserta didik pada pelajaran matematika masih relative rendah. Banyak alasan yang yang melatar belakangi hal tersebut, antara lain matematika sulit disebabkan karena banyaknya rumus-
rumus matematika yang harus dipahami dan mampu diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.
Untuk mengatasi masalah pencapaian prestasi belajar siswa sesuai dengan yang diharapkan pada mata pelajaran matematika berbagai cara telah diusahakan oleh guru matematika untuk meningkatkan prestasi belajar peserta didik salah diantaranya dengan menggunakan beberapa metode maupun strategi baru untuk mengajarkan mata pelajaran matematika ,ada kalanya juga menggunakan media atau alat bantu pembelajaran seperti alat peraga matematika ataupun lembar kerja untuk peserta didik yang dengan maksud untuk meningkatkan prestasi belajarnya.
Pembelajaran dengan menggunakan multimedia interaktiv diharapkan dapat menjadikan alternative untuk meningkatkan prestasi belajar peserta didik. Hal ini tentunya berbeda dengan pembelajaran yang tidak menggunakan menggunakan multimedia interaktiv .
2.6 Hipotesis
“Pembelajaran dengan menggunakan multimedia interaktiv dapat meningkatkan prestasi belajar peserta didik pada pokok bahasan lingkaran di kelas VIII SMP Negeri 3 Luwuk “
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat Dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 3 Luwuk , lokasi penelitian dipilih dengan pertimbangan bahwa menurut pendapat beberapa peserta didik Khususnya kelas VIII bahwa dalam pembelajaran matematika yang dilakukan saat ini kurang menarik sehingga banyak peserta didik kurang memahami materi dan hasil yang diperoleh kurang maksimal dan antara peneltii dengan pihak sekolah mempunyai hubungan yang baik karena peneliti adalah sebagai salah satu tenaga honorer di SMP Negeri 3 Luwuk.
Adapun waktu penelitian direncanakan dilaksanakan selama 3 bulan mulai bulan Januari sampai dengan Maret 2011
3.2 Prosedur Penelitian
Penelitian tindakan kelas adalah suatu penelitian yang dilakukan secara sistematis reflektif terhadap berbagai aksi atau tindakan yang dilakukan oleh guru yang sekaligus eneliti mulai dari perencanaan sampai dengan penilaian terhadap tindakan yang nyata di dalam kelas yang berupa kegiatan pembelajaran untuk memperbaiki kondisi pembelajaran yang dilakukan. Oleh karena itu rancangan penelitian yang digunakan adalah mengacu pada rancangan penelitian kualitatif. Hal ini sesuai dengan apa yang didefinisikan oleh Bogdan dan Taylor (dalam Hadi, 1998:56) bahwa penelitian kualitatif adalah prosedur penelitian yang menghasilkan data deskriptif berupa kata-kata tertulis dari orang-orang atau perilaku yang diamati.
Adapun prinsip-prinsip dasar yang berlaku dalam penelitian tindakan ini yang menurut Waseso ( dalam Usman ,2001:23) penilitian tindakan merupakan proses daur ulang, mulai dari tahap perencanaan, pelaksanaan tindakan dan pemantauan serta refleksi yang mungkin diikuti dengan perencanaan ulang. Dengan demikian secara lebih rinci rancangan penelitian ini meliputi hal-hal sebagai berikut :
Penelitian ini adalah penelitian tindakan kelas yang bertujuan untuk mendiskripsikan suatu proses kegiatan belajar berdasarkan apa yang terjadi dilapangan sebagai bahan kajian lebih lanjut untuk menemukan kekurangan dan kelemahan dalam kegiatan pembelajaran materi lingkaran sehingga dapat ditentukan upaya penyempurnaan. Karena itu desain penelitian ini mengacu kepada model Kemmis dan Taggart ( dalam Usman (2001:,49) yang terdiri dari empat komponen dalam satu siklus yaitu perencanaan, pelaksanaan tindakan , observasi dan evaluasi dan refleksi yang mungkin di ikuti penyempurnaan ulang terhadap implementasi siklus sebelumnya.
3.2.1. Rencana Tindakan
Rencana tindakan yang akan dilakukan dalam penelitian ini meliputi :
a. Skenario tindakan pembelajaran
b. Rencana pelaksanaan pembelajaran
c. Kreteria ketuntasan belajar
Kreteria ketuntasan belajar berdasarkan persentasi indicator yang dicapai yang ditetapkan standar skor perolehan adalah 75%
d. Kreteria keberhasilan tindakan
Kreteria keberhasilan tindakan dilihat dari kemampuan peserta didik dalam memahami materi lingkaran yang telah dipelajari
e. Personil yang dilibatkan
Personil yang akan dilibatkan dalam penelitian ini adalah guru matematika SMP Negeri 3 Luwuk
f. Pengadaan alat dalam pelaksanaan tindakan
Penelitan ini termasuk kategori penelitian tindakan kelas yang berbasis kualitatif, maka instrument penelitian ini adalah penelitian sendiri. Disamping itu instrument yang lain yang yaitu multimedia interaktif ,lembar tes, lembar observasi.
3.2.2 Pelaksanaan Tindakan
Pelaksanaan tindak pada penelitian ini adalah melakukan kegiatan pembelajaran yang telah direncanakan dengan mengacu pada scenario pembelajaran. Pelaksanaan tindakan ini akan direncanakan satu siklus, namun akan dilanjutkan pada siklus berikutnya jika pada siklus pertama belum berhasil, yang dilaksanakan sesuai dengan perubahan yang ingin dicapai dengan memperbaiki kekurangan yang terdapat pada siklus sebelumnya, misalnya apabila pada siklus pertama tindakan berhasil yaitu pencapaian prestasi belajar belum memenuhi standar yang telah di tetapkan minimal 75% karena masih banyak dari peserta didik yang belum mampu memahami materi lingkaran, maka sehubungan dengan ini tindakan dilanjutkan pada siklus kedua sebagai perbaikan.
Prosedur tindakan dalam penelitian ini adalah pemberian lembar tes dan lembar observasi, yang diuraikan sebagai berikut :
a. Lembar tes
Lembar tes terdiri dari tes awal yang diberikan pada pratindakan yang bertujuan untuk mengetahui pengetahuan dan kemampuan awal peserta didik. Selanjutnya tes siklus I yang diberikan pada akhir tindakan siklus I yang bertujuan untuk mengetahui tingkat kemampuan peserta didik dalam memahami materi lingkaran yang telah dipelajari. Dan apabila pada tes siklus I belum mencapai standar yang telah ditetapkan (miniman 75 % ) maka dilanjutkan pada tes siklus II yang diberikan pada akhir tindakan siklus II dengan tujuan perbaikan kekurangan-kekurangan dalam pembelajaran pada siklus sebelumnya.
b. Lembar observasi
Lembar observasi terdiri dari dua bagian yaitu lembar observasi peserta didik dan lembar observasi guru. Pada lembar observasi peserta dididk ini kita tempatkan peserta didik itu sendiri sebagai subyek yang kita teliti, diamati secara langsung aktivitasnya dalam mengikuti pembelajaran yang diterapkan sesuai dengan format yang telah disediakan. Sedangkan pada lembar observasi guru dimana guru juga dijadikan sebagai subyek penelitian, kita melihat ketrampilan guru yang meliputi 1.)Persiapan program satuan pembelajaran, persiapan program satuan pembelajaran ini terdiri dari perumusan tujuan pembelajaran khusus, penjabaran materi, alat pelajaran, serta langkah-langkah kegiatan pembelajaran. 2) Kegiatan pembelajaran. Dimana kegiatan pembelajran ini terdiri dari empat tahapan yaitu pendahuluan, pengembangan, penerapan dan penutup.
3.2.3 Rencana Pencatatan Data Dan Pengolahannya Atau Penafsiran Data.
Untuk memudahkan pencatatan data selama pembelajaran berlangsung peneliti menggunakan lembar observasi yang meliputi keaktifan peserta didik dalam mengikuti pembelajaran dan ketrampilan guru dalam menyajikan pembelajran sesuai dengan apa yang terjadi dilapangan sehingga data yang diperoleh menjadi acuan dalam mendiskripsikan proses dan keberhasilan kegiatan pembelajaran yang dilakukan.
3.3 Jenis Dan Cara Pengumpulan Data
Penelitian tindakan ini termauk jenis penelitan kualitaif, sehingga pada dasarnya jenis data penelitian tindakan berupa kata-kata yang dilengkapi dengan tabel respon dan verifikasi respon subyek terhadap tugas yang diberikan. Data ini meliputi : hasil tes, hasil observasi sehingga dapat dijadikan dasar dalam melakukan tindakan perbaikan, adapun cara pengumpulan data dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Data hasil tes
Data hasil tes terbagai menjadi :1) Data hasil tes awal, 2) Data hasil tes siklus I dan 3) Data siklus II, dengan ketentuan apabilla data hasil tes siklus I belum mencapai standar (minimum 75 % ) yang telah ditentukan.
2. Data hasil observasi terhadap aktifitas peserta didik dan guru dalam pembelajaran
3. Data hasil wawancara
Data hasil wawancara guru, yaitu dengan mengadakan dialog antara peneliti dengan guru matematika kelas VIII SMP Negeri 3 Luwuk, wawancara ini dilakukan untuk mengetahui metoda dan media apa yang telah diterapkan selama ini kepada peserta didik,
3.4 Tahap – Tahap Penelitian
3.4.1 Pratindakan
Kegiatan pra tindakan adalah pemberian tes awal kepada peserta didik untuk mengetahui kemampuan awal peserta didik mengenai materi lingkaran. Tes ini dilakukan kepada peserta didik kelas VIII dan dikerjakan secara perorangan. Sebelum dimulai peneliti menjelaskan kepada peserta didik tentang tujuan dilakukan tes ini, cara pengerjaan yang digunakakan untuk menyelesaikan tes ini . Selanjutnya peneliti mengoreksi hasil pekerjaan peserta didik.
3.4.2 Pelaksanaan Tindakan
Prosedur kegiatan yang dilakukan dalam penelitian tindakan kelas ini adalah satu siklus saja, namun jika pada siklus satu belum berhasil maka akan dilanjutkan pada siklus kedua. Setiap siklus disesuaikan dengan perubahan yang ingin dicapai yaitu pembelajaran yang beranjak dari kesulitan yang dialami oleh peserta didik atau kebutuhan peserta didik tetang konsep yang sulit dipahaminya sebelum melanjutkan soal-soal latihan selanjutnya. Peserta didik diukur pencapaian hasil belajarnya sesuai dengan standar kompetensi yang dicapai oleh peserta didik serta penyempurnaan tindakan yang ditemukan pada siklus sebelumya, agar tujuan pembelajaran yang diinginkan tercapai. Untuk lebih jelas , prosedur penelitian ini diurut sebagai berikut :
a. Siklus I
1. Perencanaan
Kegiatan yang dilakukan pada tahap ini dalah peneliti merencanakan atau menyusun scenario pembelajaran yang dipakai dalam pembahasan maeri lingkaran, yang mencakup hal-hal sebagai berikut :
a. Menentukan tujuan pembelajaran yang akan dicapai
b. Menerapkan metode penyajian materi yang telah dipilih
c. Merancang soal-soal untuk peserta didik
d. Pengecekan penyelesaian hasil pekerjaan peserta didik
e. Membuat lembar observasi, yaitu untuk melihat kondisi pembelajaran yang dilaksanakan
f. Mendesain alat evaluasi untuk mengetahui hasil belajar prestasi belajar peserta didik
2. Tindakan
Pada proses tindakan ada tiga prosedur yang akan peneiliti jalankan . ketiga prosedur itu adalah sebagai berikut :
1. Pendahuluan
Kegiatan dalam tahap ini diawali dengan memberi motivasi, mengingatkan kembali pengetahuan prasyarat dan menjelaskan tujuan pembelajaran.
2. Penyajian materi
Kegiatan dalam tahap ini adalah peneliti meminta kepada peserta didik untuk membentuk kelompok belajar dan masing-masing kelompok untuk memperhatikan tampilan multimedia interaktif yang ditampilkan melalui layar LCD dan mendiskusikannya. Diskusi dapat dilakukan antar kelompok atau seluruh kelas..
3. Penerapan
Setelah peneliti dan peserta didik selesai membahas materi lingkaran dan contoh-contoh soal bersama-sama,maka peneliti selanjutnya memberikan soal tes akhir siklus I. soal diberikan secara perorangan. Setelah guru memeriksa pekerjaan peserta didik dan memberikan skor, maka peneliti dapa mengatagorikan pembelajaran yang dilakukan pada siklus I tuntas atau tidak tuntas yang mengacu pada standar yang ada (minimal 75 %) . apabila pencapaian peserta didik lebih atau sama dengan 75 %, maka dikategorikan tuntas dan apabila kurang 75 % maka pencapaian peserta didik tidak tuntas.
4. Obsevasi
Kegiatan observasi dilakukan secara bersama-sama oleh peneliti, dan guru mata pelajaran matematika
5. Refleksi
Apabila berdasarkan hasil evaluasi dan hasil observasi penelitian yang dikumpulkan dan setelah dianalisis belum berhasil, karena pencapaian peserta didik masih banyak yang kurang dari 75 % ,maka tindakan selanjutnya adalah mengadakan perbaikan pada siklus II
3.5 Teknik Analisis Data
Langkah–langkah yang dilakukan dalam kegiatan menganalisa data dari hasil penelitian ini ada tiga tahap yaitu :
1. Reduksi
Proses penyederhanaan data yang diharapkan dapat memberikan gambaran dan menjadi informasi yang bermakna sehingga peneliti mudah menarik kesimpulan
2. Paparan data
Proses penampilan data secara lebih sederhana dalam bentuk tabel ataupun secara naratif. Paparan data yang dimaksud adalah uraian tentang proses pembelajaran, kesulitan dan kesalahan yang sering dialami peserta didik dalam mempelajari materi lingkaran serta hasil yang diperoleh setelah diberikan tindakan serta bagaimana solusinya.
3. Penyimpulan data
Proses pengambilan rangkuman dari sajian data yang telah dipaparkan dalam bentuk pernyataan kalimat atau informasi yang singkat, jelas dan bermakna
biimplikasi
Mari berlatih lagi nalar logika matematika lagi. Agar semakin mahir, semakin mantap, dan berguna bagi diri kita.
Kali ini, Paman APIQ mengajak kita menyelidiki logika matematika implikasi dan biimplikasi.
(1) n = 3
(2) n adalah ganjil
Struktur logika implikasi yang dapat kita susun adalah:
JIKA n = 3 MAKA n adalah bilangan ganjil.
Logis dan masuk akal pernyataan implikasi di atas. Mari kita asumsikan pernyataan implikasi di atas adalah benar. Bagaimana kita menarik kesimpulan?
A. Diketahui n = 3.
Kesimpulan kita n adalah bilangan ganjil. Sah dan benar.
B. Diketahui n tidak = 3.
Kesimpulan kita n adalah bukan bilangan ganjil. (Tidak sah). Karena mungkin saja n = 7 yang merupakan bilangan ganjil.
Dalam situasi ini n dapat saja ganjil atau tidak ganjil. Kita tidak dapat menarik kesimpulan dengan pasti.
C. Diketahui n adalah bilangan ganjil.
Kesimpulan kita adalah n = 3. (Tidak sah). Karena mungkin saja n = 7. Dalam situasi ini kita tidak dapat menarik kesimpulan yang pasti.
D. Diketahui n bukan bilangan ganjil.
Kesimpulan kita adalah n tidak = 3. (Sah dan benar). Kesimpulan kita ini pasti benar.
Dari 4 situasi di atas (A, B, C, D) kita hanya dapat menarik kesimpulan dalam 2 situasi yaitu A dan D. Jadi kita perlu hati-hati ketika menarik kesimpulan.
Mari kita bandingkan dengan situasi biimplikasi.
(1) n = 3
(2) 2n = 6
Kita susun struktur biimplikasi
JIKA DAN HANYA JIKA n = 3 MAKA 2n = 6.
Logis, masuk akal, dapat kita pahami. Mari kita asumsikan biimplikasi di atas adalah benar.
A. Diketahui n = 3.
Kesimpulan kita adalah 2n = 6. (Sah dan benar).
B. Diketahui n tidak = 3.
Kesimpulan kita adalah 2n tidak = 6. (Sah dan benar).
C. Diketahui 2n = 6.
Kesimpulan kita adalah n = 3. (Sah dan benar).
D. Diketahui 2n tidak = 6.
Kesimpulan kita n tidak = 3. (Sah dan benar).
Perhatikan dalam segala situasi biimplikasi kita dapat menarik kesimpulan secara sah.
Sedangkan tidak semua situasi implikasi kita dapat menarik kesimpulan yang sah.
Yuk…sekarang mari kita bermain-main.
(1) Rajin belajar.
(2) Mendapat nilai bagus.
A. Diketahui “Rajin belajar”.
Kesimpulannya?
Pasti mendapat nilai bagus?
Mungkin tidak mendapat nilai bagus?
B. Diketahui “Tidak rajin belajar”.
Kesimpulannya?
Pasti tidak mendapat nilai bagus?
Mungkin saja mendapat nilai bagus?
C. Diketahui “Mendapat nilai bagus”.
Kesimpulannya?
Pasti rajin belajar?
Mungkin saja tidak rajin belajar?
D. Diketahui “Tidak mendapat nilai bagus”.
Kesimpulannya?
Pasti tidak rajin belajar?
Mungkin saja sudah rajin belajar?
Dari 4 kondisi A, B, C, D, di atas kira-kira kondisi mana yang membuat kita yakin membuat kesimpulan?
Tampaknya kita hanya yakin pada kondisi D:
JIKA (ternyata) tidak mendapat nilai bagus MAKA (itu dikarenakan oleh dia ) tidak rajin belajar.
Ini adalah struktur implikasi. Mari kita anggap implikasi di atas adalah benar. Ternyata masih banyak orang salah berpikir dengan menyatakan:
JIKA mendapat nilai bagus MAKA (karena pasti ia) rajin belajar. (Pernyataan ini tidak sah). Mungkin saja ia mendapat nilai bagus karena keberuntungan atau “lainnya”.
JIKA tidak rajin belajar MAKA tidak mendapat nilai bagus. (Pernyataan ini tidak sah).
JIKA rajin belajar MAKA mendapat nilai bagus. (Pernyataan ini sah dan benar). Struktur logika ini kita kenal sebagai kontra posisi dari suatu implikasi.
Sedangkan untuk biimplikasi kita lebih mudah memahaminya. Hanya saja kita harus yakin bahwa situasi kita benar-benar biimplikasi.
Contoh:
JIKA DAN HANYA JIKA matahari terbit MAKA pagi telah tiba.
Orang pada umumnya menarik kesimpulan yang benar untuk contoh-contoh biimplikasi di atas.
JIKA matahari terbit MAKA pagi telah tiba. (Sah dan benar).
JIKA matahari tidak terbit MAKA pagi belum tiba. (Sah dan benar).
JIKA pagi telah tiba MAKA matahari terbit. (Sah dan benar).
JIKA pagi belum tiba MAKA matahari belum terbit. (Sah dan benar).
Berhati-hatilah dengan implikasi karena berbeda dengan biimplikasi.
Setelah kita berlama-lama dalam bahasan logika matematika, akhirnya sampai juga pada penerapan paling utamanya. Yaitu dalam mengerjakan soal atau dalam proses pembuktian.
Penggunaan simbol yang tepat bisa lebih melancarkan komunikasi dalam matematika.
Dan juga, penggunaan simbol ini bisa digunakan untuk membongkar soal-soal paradoks, yang banyak ditulis sebagai hiburan iseng orang matematika (termasuk dalam blog saya ini )
Kita simak dulu beberapa contoh pendahuluan berikut:
Dalam aljabar, menambahkan atau mengurangi kedua ruas dengan sesuatu yang sama, adalah benar. Sehingga kita bisa mendapatkan :
x = y => x + z = y + z…..(menambah kedua ruas)
dan
x + z = y + z => x = y (mengurangi kedua ruas)
Sehingga kita bisa menuliskannya dalam bentuk yang lebih singkat sebagai :
x = y <=> x + z = y + z.
Akan tetapi, tidak semua langkah aljabar bisa di tulis bolak-balik seperti contoh di atas.
Contoh 2:
x = y =>x2 = y2 adalah benar
sedangkan kalo dibalik arahnya.
x2 = y2 , maka belum tentu menyebabkan x = y, ada kemungkinan lain yaitu x= -y .
Sehingga tidak bisa kita tulis dalam biimplikasi.
Kesimpulan 1:
Implikasi menunjukan kebenaran logis satu arah, sedangkan biimplikasi dua arah.
****
Oke, itu dasarnya, mengenai kapan kita harus menggunakan notasi => dan <=>
(Perhatikan langkah-langkah ketika simbol implikasi dan biimplikasi muncul.)
Semua langkah di atas lengkap dan logis, yang pada akhirnya didapat jawaban : {4, 144}. Namun coba anda masukan ke dalam soal (persamaan awal). Maka hasilnya akan salah.
Kenapa terjadi demikian ?, apa yang salah ?
Nah ternyata, kuncinya terletak pada penggunaan simbol yang sedang kita bahas: => dan <=>.
Gimana, sudah mulai tertarik ?, jika ya, kita bahas. Let’s Go !!!!!!!!
Pada contoh 3 kita di atas. Tidak semua langkah terhubung dengan simbol biimplikasi (di sela-sela proses muncul simbol implikasi). Artinya, kebenaran logis tidak berlaku dua arah. Sehingga memang tidak ada yang menjamin benar jika kita membalikan proses (memasukan nilai akhir ke dalam persamaan awal).
Lalu apa yang terjadi sebenarnya ?
Jika, setelah semua langkah kita logis, namun ketika dimasukan ke persamaan awal ternyata tidak memenuhi. Artinya kita bisa mengatakan ”soal contoh 3 tidak memiliki penyelesaian”.
Kesimpulan 2:
Jika muncul tanda implikasi, kita harus cross check setiap jawaban akhir. Karena tidak ada yang menjamin, artinya ada dua kemungkinan : memenuhi atau tidak . Dalam bahasa umum : soal punya penyelesaian atau tidak.
NB: saya sarankan juga, langkah cross check ini menjadi kebiasaan, meskipun semua tanda yang muncul adalah biimplikasi, dengan tujuan kalo’-kalo’ ada langkah kita yang keliru, bisa langsung terlihat dan ditelusuri lagi keabsahannya perlangkah.
Masih pengen contoh lagi ?
Contoh 4:
Selesaikan sistem persamaan berikut :
2a – 5b = 3, dan 10b – 4a = -5
Jawab :
2a – 5b = 3, dan 10b – 4a = – 5
=> 2(2a – 5b) + (10b -4a) = 2 x 3 + (-5)
<=> 4a – 10b + 10b- 4a = 1
<=> 0 = 1
Ini bukan pembuktian bahwa 0 = 1. (trik gini dah basi)
Ini hanya menunjukan bahwa symbol => yang tersisip dalam langkah-langkah, memutus mata rantai bolak-balik. Artinya tidak ada jaminan bahwa hasil akhirnya adalah sebagai solusi (lihat kesimpulan 1).
Lalu artinya apa ?
Karena kita tahu bahwa 0 = 1 adalah salah. Maka pasti soal juga salah, dengan kata lain : sistem persamaan di atas tidak punya penyelesaian. Atau dengan kata lain lagi: ” tidak ada nilai a dan b yang memenuhi sistem persamaan di atas ”.
NB: pemahaman dasar ini sebagai fundamen bagi anda dalam memahami teknik pembuktian dengan cara ”kontradiksi”.
Kali ini, Paman APIQ mengajak kita menyelidiki logika matematika implikasi dan biimplikasi.
(1) n = 3
(2) n adalah ganjil
Struktur logika implikasi yang dapat kita susun adalah:
JIKA n = 3 MAKA n adalah bilangan ganjil.
Logis dan masuk akal pernyataan implikasi di atas. Mari kita asumsikan pernyataan implikasi di atas adalah benar. Bagaimana kita menarik kesimpulan?
A. Diketahui n = 3.
Kesimpulan kita n adalah bilangan ganjil. Sah dan benar.
B. Diketahui n tidak = 3.
Kesimpulan kita n adalah bukan bilangan ganjil. (Tidak sah). Karena mungkin saja n = 7 yang merupakan bilangan ganjil.
Dalam situasi ini n dapat saja ganjil atau tidak ganjil. Kita tidak dapat menarik kesimpulan dengan pasti.
C. Diketahui n adalah bilangan ganjil.
Kesimpulan kita adalah n = 3. (Tidak sah). Karena mungkin saja n = 7. Dalam situasi ini kita tidak dapat menarik kesimpulan yang pasti.
D. Diketahui n bukan bilangan ganjil.
Kesimpulan kita adalah n tidak = 3. (Sah dan benar). Kesimpulan kita ini pasti benar.
Dari 4 situasi di atas (A, B, C, D) kita hanya dapat menarik kesimpulan dalam 2 situasi yaitu A dan D. Jadi kita perlu hati-hati ketika menarik kesimpulan.
Mari kita bandingkan dengan situasi biimplikasi.
(1) n = 3
(2) 2n = 6
Kita susun struktur biimplikasi
JIKA DAN HANYA JIKA n = 3 MAKA 2n = 6.
Logis, masuk akal, dapat kita pahami. Mari kita asumsikan biimplikasi di atas adalah benar.
A. Diketahui n = 3.
Kesimpulan kita adalah 2n = 6. (Sah dan benar).
B. Diketahui n tidak = 3.
Kesimpulan kita adalah 2n tidak = 6. (Sah dan benar).
C. Diketahui 2n = 6.
Kesimpulan kita adalah n = 3. (Sah dan benar).
D. Diketahui 2n tidak = 6.
Kesimpulan kita n tidak = 3. (Sah dan benar).
Perhatikan dalam segala situasi biimplikasi kita dapat menarik kesimpulan secara sah.
Sedangkan tidak semua situasi implikasi kita dapat menarik kesimpulan yang sah.
Yuk…sekarang mari kita bermain-main.
(1) Rajin belajar.
(2) Mendapat nilai bagus.
A. Diketahui “Rajin belajar”.
Kesimpulannya?
Pasti mendapat nilai bagus?
Mungkin tidak mendapat nilai bagus?
B. Diketahui “Tidak rajin belajar”.
Kesimpulannya?
Pasti tidak mendapat nilai bagus?
Mungkin saja mendapat nilai bagus?
C. Diketahui “Mendapat nilai bagus”.
Kesimpulannya?
Pasti rajin belajar?
Mungkin saja tidak rajin belajar?
D. Diketahui “Tidak mendapat nilai bagus”.
Kesimpulannya?
Pasti tidak rajin belajar?
Mungkin saja sudah rajin belajar?
Dari 4 kondisi A, B, C, D, di atas kira-kira kondisi mana yang membuat kita yakin membuat kesimpulan?
Tampaknya kita hanya yakin pada kondisi D:
JIKA (ternyata) tidak mendapat nilai bagus MAKA (itu dikarenakan oleh dia ) tidak rajin belajar.
Ini adalah struktur implikasi. Mari kita anggap implikasi di atas adalah benar. Ternyata masih banyak orang salah berpikir dengan menyatakan:
JIKA mendapat nilai bagus MAKA (karena pasti ia) rajin belajar. (Pernyataan ini tidak sah). Mungkin saja ia mendapat nilai bagus karena keberuntungan atau “lainnya”.
JIKA tidak rajin belajar MAKA tidak mendapat nilai bagus. (Pernyataan ini tidak sah).
JIKA rajin belajar MAKA mendapat nilai bagus. (Pernyataan ini sah dan benar). Struktur logika ini kita kenal sebagai kontra posisi dari suatu implikasi.
Sedangkan untuk biimplikasi kita lebih mudah memahaminya. Hanya saja kita harus yakin bahwa situasi kita benar-benar biimplikasi.
Contoh:
JIKA DAN HANYA JIKA matahari terbit MAKA pagi telah tiba.
Orang pada umumnya menarik kesimpulan yang benar untuk contoh-contoh biimplikasi di atas.
JIKA matahari terbit MAKA pagi telah tiba. (Sah dan benar).
JIKA matahari tidak terbit MAKA pagi belum tiba. (Sah dan benar).
JIKA pagi telah tiba MAKA matahari terbit. (Sah dan benar).
JIKA pagi belum tiba MAKA matahari belum terbit. (Sah dan benar).
Berhati-hatilah dengan implikasi karena berbeda dengan biimplikasi.
Setelah kita berlama-lama dalam bahasan logika matematika, akhirnya sampai juga pada penerapan paling utamanya. Yaitu dalam mengerjakan soal atau dalam proses pembuktian.
Penggunaan simbol yang tepat bisa lebih melancarkan komunikasi dalam matematika.
Dan juga, penggunaan simbol ini bisa digunakan untuk membongkar soal-soal paradoks, yang banyak ditulis sebagai hiburan iseng orang matematika (termasuk dalam blog saya ini )
Kita simak dulu beberapa contoh pendahuluan berikut:
Dalam aljabar, menambahkan atau mengurangi kedua ruas dengan sesuatu yang sama, adalah benar. Sehingga kita bisa mendapatkan :
x = y => x + z = y + z…..(menambah kedua ruas)
dan
x + z = y + z => x = y (mengurangi kedua ruas)
Sehingga kita bisa menuliskannya dalam bentuk yang lebih singkat sebagai :
x = y <=> x + z = y + z.
Akan tetapi, tidak semua langkah aljabar bisa di tulis bolak-balik seperti contoh di atas.
Contoh 2:
x = y =>x2 = y2 adalah benar
sedangkan kalo dibalik arahnya.
x2 = y2 , maka belum tentu menyebabkan x = y, ada kemungkinan lain yaitu x= -y .
Sehingga tidak bisa kita tulis dalam biimplikasi.
Kesimpulan 1:
Implikasi menunjukan kebenaran logis satu arah, sedangkan biimplikasi dua arah.
****
Oke, itu dasarnya, mengenai kapan kita harus menggunakan notasi => dan <=>
(Perhatikan langkah-langkah ketika simbol implikasi dan biimplikasi muncul.)
Semua langkah di atas lengkap dan logis, yang pada akhirnya didapat jawaban : {4, 144}. Namun coba anda masukan ke dalam soal (persamaan awal). Maka hasilnya akan salah.
Kenapa terjadi demikian ?, apa yang salah ?
Nah ternyata, kuncinya terletak pada penggunaan simbol yang sedang kita bahas: => dan <=>.
Gimana, sudah mulai tertarik ?, jika ya, kita bahas. Let’s Go !!!!!!!!
Pada contoh 3 kita di atas. Tidak semua langkah terhubung dengan simbol biimplikasi (di sela-sela proses muncul simbol implikasi). Artinya, kebenaran logis tidak berlaku dua arah. Sehingga memang tidak ada yang menjamin benar jika kita membalikan proses (memasukan nilai akhir ke dalam persamaan awal).
Lalu apa yang terjadi sebenarnya ?
Jika, setelah semua langkah kita logis, namun ketika dimasukan ke persamaan awal ternyata tidak memenuhi. Artinya kita bisa mengatakan ”soal contoh 3 tidak memiliki penyelesaian”.
Kesimpulan 2:
Jika muncul tanda implikasi, kita harus cross check setiap jawaban akhir. Karena tidak ada yang menjamin, artinya ada dua kemungkinan : memenuhi atau tidak . Dalam bahasa umum : soal punya penyelesaian atau tidak.
NB: saya sarankan juga, langkah cross check ini menjadi kebiasaan, meskipun semua tanda yang muncul adalah biimplikasi, dengan tujuan kalo’-kalo’ ada langkah kita yang keliru, bisa langsung terlihat dan ditelusuri lagi keabsahannya perlangkah.
Masih pengen contoh lagi ?
Contoh 4:
Selesaikan sistem persamaan berikut :
2a – 5b = 3, dan 10b – 4a = -5
Jawab :
2a – 5b = 3, dan 10b – 4a = – 5
=> 2(2a – 5b) + (10b -4a) = 2 x 3 + (-5)
<=> 4a – 10b + 10b- 4a = 1
<=> 0 = 1
Ini bukan pembuktian bahwa 0 = 1. (trik gini dah basi)
Ini hanya menunjukan bahwa symbol => yang tersisip dalam langkah-langkah, memutus mata rantai bolak-balik. Artinya tidak ada jaminan bahwa hasil akhirnya adalah sebagai solusi (lihat kesimpulan 1).
Lalu artinya apa ?
Karena kita tahu bahwa 0 = 1 adalah salah. Maka pasti soal juga salah, dengan kata lain : sistem persamaan di atas tidak punya penyelesaian. Atau dengan kata lain lagi: ” tidak ada nilai a dan b yang memenuhi sistem persamaan di atas ”.
NB: pemahaman dasar ini sebagai fundamen bagi anda dalam memahami teknik pembuktian dengan cara ”kontradiksi”.
Tautologi, Kontradiksi , Contingent , dan Ekuivalensi Logis
Tautologi menggambarkan kebenaran dari semua pernyataan, sedangkan kontradiksi menggambarkan kesalahan ( F ) dari semua pernyataan yang tergambar pada kesimpulan.
Tautologi
Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi yang berada di dalamnya.
Jika tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai T pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada membuktikan argumen tadi valid.
Argumen berarti memiliki premis-premis dan mempunyai kesimpulan.
Jika premis-premis benar, maka kesimpulan juga harus benar.
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, makaTini pergi kuliah.
Diubah ke variabel proposisional:
A = Tono pergi kuliah.
B = Tini pergi kuliah.
C = Siska tidur.
Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
A->B (premis)
C->B (premis)
(A V C)->B (kesimpulan)
Selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut:
((A->B)^(C->B))->((A V C)->B)
Setelah itu membuat tabel kebenaran dari ekspresi logika tersebut.
Jadi, jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid.
Dalam logika, tautologi dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi jika A adalah tautologi, maka A = T atau A = 1
Pemanfaatan Tautologi
Ada beberapa hal penting yang diakibatkan oleh tautologi, yakni:
1. Implikasi secara logis. Misalnya A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A secara logis mengimplementasikan B dapat ditulis dengan A ->B
2. Ekuivalen secara logis. Misalnya A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A ekuivalen secara logis dengan B, dapat ditulis dengan: A = B. di sini disyaratkan A = B, jika dan hanya jika A <-> B adalah tautologi.
Kontradiksi
Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.
Pada argumen, suatu kontradiksi dapat dijumpai jika antara premis-premis bernilai T, sedangkan kesimpulan bernilai F. Hal ini tentunya tidak mungkin terjadi, karena premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan benar.
Dalam bahasa logika konjungsi dari semua premis-premis dengan negasi dari kesimpulan selalu bernilai F, dan terjadi kontradiksi.
Negasi kesimpulan berarti memberi nilai F pada negasi kesimpulan.
Dalam logika, kontradiksi dapat ditulis F atau 0 saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0
Contingent
Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.
Ekuivalen Logis
Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A ekuivalen B adalah tautologi. Notasi atau simbol A ekuivalen B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat diganti dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk.
Pada tautologi dan juga kontradiksi dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi.
Pada contingent, jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama, maka tetap disebut ekuivalen secara logis.
Tautologi
Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi yang berada di dalamnya.
Jika tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai T pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada membuktikan argumen tadi valid.
Argumen berarti memiliki premis-premis dan mempunyai kesimpulan.
Jika premis-premis benar, maka kesimpulan juga harus benar.
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, makaTini pergi kuliah.
Diubah ke variabel proposisional:
A = Tono pergi kuliah.
B = Tini pergi kuliah.
C = Siska tidur.
Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
A->B (premis)
C->B (premis)
(A V C)->B (kesimpulan)
Selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut:
((A->B)^(C->B))->((A V C)->B)
Setelah itu membuat tabel kebenaran dari ekspresi logika tersebut.
Jadi, jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid.
Dalam logika, tautologi dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi jika A adalah tautologi, maka A = T atau A = 1
Pemanfaatan Tautologi
Ada beberapa hal penting yang diakibatkan oleh tautologi, yakni:
1. Implikasi secara logis. Misalnya A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A secara logis mengimplementasikan B dapat ditulis dengan A ->B
2. Ekuivalen secara logis. Misalnya A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A ekuivalen secara logis dengan B, dapat ditulis dengan: A = B. di sini disyaratkan A = B, jika dan hanya jika A <-> B adalah tautologi.
Kontradiksi
Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.
Pada argumen, suatu kontradiksi dapat dijumpai jika antara premis-premis bernilai T, sedangkan kesimpulan bernilai F. Hal ini tentunya tidak mungkin terjadi, karena premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan benar.
Dalam bahasa logika konjungsi dari semua premis-premis dengan negasi dari kesimpulan selalu bernilai F, dan terjadi kontradiksi.
Negasi kesimpulan berarti memberi nilai F pada negasi kesimpulan.
Dalam logika, kontradiksi dapat ditulis F atau 0 saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0
Contingent
Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.
Ekuivalen Logis
Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A ekuivalen B adalah tautologi. Notasi atau simbol A ekuivalen B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat diganti dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk.
Pada tautologi dan juga kontradiksi dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi.
Pada contingent, jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama, maka tetap disebut ekuivalen secara logis.
PERNYATAAN/ PROPOSISI
Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.
Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
1. Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar).
2. 2+2=4 (Benar).
3. Semua manusia adalah fana (Benar).
4. 4 adalah bilangan prima (Salah).
5. 5×12=90 (Salah).
6. 13 adalah bilangan ganjil
7. Soekarno adalah alumnus UGM.
8. 1 + 1 = 2
9. 8 > akar kuadrat dari 8 + 8
10. Ada monyet di bulan
11. Hari ini adalah hari Rabu
12. Untuk sembarang bilangan bulat n>0, maka 2n adalah bilangan genaP
13. x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil
Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
1. Dimanakah letak pulau bali?.
2. Pandaikah dia?.
3. Andi lebih tinggi daripada Tina.
4. 3x-2y=5x+4.
5. x+y=2
6. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
7. Isilah gelas tersebut dengan air!
8. x + 3 = 8
9. x > 3
KOMBINASI PROPOSISI dan TABEL KEBENARAN
Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.
Dalam logika dikenal 5 buah penghubung
Simbol Arti Bentuk
~ Tidak/Not/Negasi Tidak………….
^ Dan/And/Konjungsi ……..dan……..
V Atau/Or/Disjungsi ………atau…….
=> Implikasi Jika…….maka…….
<=> Bi-Implikasi ……..bila dan hanya bila……..
Contoh 1.1 :
Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “Dinyatakan dengan simbol p ^ q
Contoh 1.2 :
Misalkan p: hari ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
1. Hari ini tidak hari minggu tetapi libur
2. Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur
3. Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur
Penyelesaian
1. Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p ^ q
2. ¬p ^¬q
3. ¬(p ^ q)
NEGASI (INGKARAN)
Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (~p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.
Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang :
Dibaca: tidak benar p atau bukan p
Contoh :
Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berikut :
a. p: 7 adalah bilangan prima (B)
p: tidak benar 7 adalah bilangan prima atau p: 7 bukan bilangan prima (S)
b. p: Surabaya terletak di Kalimantan (S)
p: tidak benar Surabaya terletak di Kalimantan atau p: Surabaya bukan terletak di Kalimantan (B)
Hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut:
Ungkapan tersebut dapat disajikan dengan menggunakan tabel yang disebut sebagai tabel kebenaran. Perhatikan tabel berikut ini :
p p
B
S S
B
PERNYATAAN MAJEMUK
A. KONJUNGSI
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “^”
Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang sebagai berikut:
(dibaca: p dan q)
Nilai kebenaran konjungsi p q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut:
Berdasarkan definisi di atas, tabel kebenaran konjungsi p q dapat ditunjukan seperti pada tabel dibawah ini ;
p Q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S
Contoh :
1. p: 4 + 3 = 7 (B)
q: 7 adalah bilangan ganjil (B)
p q : 4 + 3 = 7 dan 7 adalah bilangan ganjil (B)
2. p: Mangga adalah nama buah (B)
q: Mangga adalah buah berbentuk balok (S)
p q: Mangga adalah nama buah dan mangga adalah buah berbentuk balok(S)
B. DISJUNGSI
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “V”.
Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang sebagai berikut:
(dibaca : p atau q)
Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :
a. INKLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh :
p : 7 adalah bilangan prima
q : 7 adalah bilangan ganjil
p V q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.
b. EKSLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh :
p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.
q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.
p V q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.
Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.
Nilai kebenaran disjungsi p q dapat ditentukan melalui definisi berikut :
Berdasarkan defenisi di atas, tabel kebenaran disjungsi p q dapat ditunjukkan seperti tabel dibawah ini.
p q p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S S
B
B
S
Contoh :
1. Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut ini
p: 2 + 3 = 6 (S)
q: 6 adalah bilangan genap (B)
p q: 2 + 3 = 6 atau 6 adalah bilangan genap (B)
NEGASI DARI KONJUNGSI DAN DISJUNGSI
Jika diketahui konjungsi p q, negasinya adalah p q.
Jika diketahui disjungsi p q, negasinya adalah p q.
Adapun pembuktiannya dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran sebagai berikut;
p q p q p q ( p q) p q p q (p q) p q
B
B
S
S B
S
B
S S
S
B
B S
B
S
B B
S
S
S S
B
B
B S
B
B
B B
B
B
S S
S
S
B S
S
S
B
Dari tabel di atas terlihat bahwa nilai kebenaran (p q) sama dengan p q dan (p q) sama dengan p q.
Contoh :
p : 3 adalah bilangan asli
q : 3 adalah bilangan ganjil
p q : 3 adalah bilangan asli dan bilangan ganjil. (B)
p q : 3 bukan bilangan asli atau bukan bilangan ganjil. (S)
IMPLIKASI
Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “=>”.
Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut :
(dibaca: jika p maka q)
Dalam berbagai penerapan, implikasi p q dapat dibaca :
p hanya jika q
q jika p
p syarat cukup bagi q
q syarat perlu bagi p
Berdasarkan defenisi tersebut, tabel kebenaran implikasi p q dapat ditunjukkan pada tabel dibawah ini :
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B
Contoh :
1. p : pak rudi adalah manusia. (B)
q : Pak rudi kelak akan mati. (B)
p q : jika pak rudi adalah manusia, maka kelak akan mati. (B)
2. p : 2 + 5 = 7 (B)
q : 7 bukan bilangan prima (S)
p q : Jika 2 + 5 = 7, maka 7 bukan bilangan prima (S)
Notasi p=>q dapat dibaca :
1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p
Contoh 1.4:
1. p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p =>q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.
1. p : Hari hujan.
q : Adi membawa payung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut:
1. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
2. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
3. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
4. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.
NEGASI SUATU IMPLIKASI
Apabila diketahui implikasi p q, negasinya adalah p q.
Tabel kebenaran (p q) dan (p q) di perlihatkan pada tabel dibawah ini:
p Q q p q (p q) (p q)
B
B
S
S B
S
B
S S
B
S
B B
S
B
B S
B
S
S S
B
S
S
Berdasarkan penjelasan di atas bahwa [ (p q )] (p q). Jadi, (p q) (p q).
Perhatikan dari pernyataan berikut ini yang merupakan suatu implikasi :
“ jika ayam binatang berkaki dua , maka ayam binatang bertelur “
Negasi dari suatu implikasi di atas adalah “ ayam binatang berkaki dua akan tetapi ayam bukan binatang bertelur”
KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”
Bentuk umum implikasi di atas adalah “p => q” dengan
p : Bendera RI
q : Bendera yang ada warna merahnya.
Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :
1. KONVERS, yaitu q =>p
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.
2. INVERS, yaitu ~p => ~q
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya”.
3. KONTRAPOSISI, yaitu ~q =>~p
Sehingga implikasi di atas menjadi :
“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI”.
Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan invers dan konversnya.
Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut
p q • ~p ~ q p=>q q => p • ~p => ~q ~q=>~p
T T F F T T T T
T F F T F T T F
F T T F T F F T
F F T T T T T T
INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Contoh :
Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih”
Penyelesaian
Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI
q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih
maka kalimatnya menjadi p => q atau jika menggunakan operator dan maka p => q ekuivalen(sebanding/») dengan ~p V q. Sehingga
1. Negasi dari implikasi
Implikasi : (p=>q) =~p V q
Negasinya : ~(~pVq) =p^~q
Kalimatnya :“Suatu bendera adalah bendera RI dan bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih”.
2.Negasi dari konvers
Konvers : q=>p = ~qVp
Negasinya : ~(~qVp) = q^~p
Kalimatnya : “Ada/Terdapat bendera berwarna merah dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.
3.Negasi dari invers
Invers : ~p => ~q = ~(~p)V~q) = p^~q
Negasinya : ~(p^~q) = ~pVq
Kalimatnya : “Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan putih”.
4. Negasi dari kontraposisi
Kontraposisi : ~q => ~p = ~(~q)V~p = qV~p
Negasinya : ~(qV~p) = ~q^p
Kalimatnya : “ Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut adalah bendera RI”.
BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p <=> q” yang bernilai sama dengan (p <=>q) ^ (q <=> p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilai benar.
Contoh 1.5 :
p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
p<=>q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
Tabel Kebenaran
p Q • ~p ~q pVq p^q p=>q p<=> q
T T F F T T T T
T F F T T F F F
F T T F T F T F
F F T T F F T T
Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.
NEGASI SUATU BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p <=> q =(p => q) ^ (q =>p) sehingga : ~(p <=> q) = ~ [(p => q) ^ (q => p)]
= ~ [(~pVq ) ^ (~qVp)]
=~ (~pVq ) V ~(~qVp)
Biimplikasi (Bikondisional) Dan Negasinya
Suatu implikasi tidak dapat berlaku timbal balik. Sebagai ilustrasi marilah membayangkan implikasi “Jika adik naik pohon maka pohon bergoyang”. Implikasi ini tentu tidak dapat dibalik menjadi “Jika pohon bergoyang, maka adik naik pohon”. Pohon bisa saja bergoyang bukan karena adik naik, sedangkan kalau adik naik pohon pastilah pohon tersebut bergoyang.
Namun ada juga kasus yang berbeda. Bayangkanlah pernyataan “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia”. Pernyataan seperti ini berlaku timbal balik karena pernyataan “Jika hewan itu tergolong mamalia maka hewan itu menyusui”, setara dengan pernyataan sebelumnya. Untuk kasus ini 'sepertinya' implikasi " p ⇒ q" sama dengan implikasi “q ⇒ p”. Kasus seperti inilah yang dimaksud dengan biimplikasi. Jadi dapat disimpulkan biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan dengan bentuk kondisional (sebab-akibat) dimana sebab dan akibatnya dapat dipertukarkan. Pernyataan sebabnya mengakibatkan pernyataan akibat dan juga sebaliknya.
Untuk membedakannya dengan implikasi, operator biimplikasi dilambangkan dengan “⇔”, sedangkan pengalimatannya menggunakan bentuk “…. (pernyataan pertama) jika dan hanya jika …. (pernyataan kedua)”. Dalam keseharian biimplikasi biasanya memakai bentuk pengalimatan “jika… (pernyataan pertama) maka … (pernyataan kedua), demikian pula sebaliknya”.
Marilah kita meninjau lagi contoh biimplikasi “menyusui-mamalia” yang seolah-olah kita temukan di atas. Namun sekarang kita akan mengalimatkannya dengan gaya biimplikasi matematis (mudah-mudahan tidak jadi ribet). Kalimat biimplikasi kita berbunyi : “Hewan itu menyusui jika dan hanya jika hewan itu tergolong mamalia”. Ribet ya? Kalau lebih suka marilah memakai kalimat yang lebih lazim : “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia, demikian pula sebaliknya”. Nah… kalimat ini adalah gabungan biimplikasi dari pernyataan “Hewan itu menyusui” dan pernyataan “Hewan itu tergolong mamalia”. Kalimat ini akan bernilai benar jika:
1. Pernyataan pertama (Hewan itu menyusui) dan pernyataan kedua (Hewan itu tergolong mamalia) sama-sama bernilai benar, atau
2. Pernyataan pertama dan pernyataan kedua sama-sama bernilai salah.
Mengapa demikian? Mari memudahkannya dengan membayangkan kalimat tersebut diucapkan oleh seorang profesor taksonomi hewan sebagai jawaban saat kita menanyakan tergolong hewan apakah hewan aneh yang sedang kita pegang. Karena professor itu sibuk, beliau tidak melihat hewan kita. Profesor yang budiman itu cuma menjawab dari jarak jauh: “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia, demikian pula sebaliknya. Inilah teori buatan saya, buktikan sendiri”. Lalu ia melemparkan, juga dari jarak jauh, buku taksonomi hewannya. Buku itu memang memuat jawaban yang benar.
Kalau kita tahu hewan itu menyusui dan setelah kita lihat di buku taksonomi hewan ternyata tergolong mamalia maka kita bisa bilang teori profesor tadi memang benar. Demikian juga seandainya kita tahu bahwa hewan itu tidak menyusui dan setelah kita lihat di buku taksonomi ternyata hewan tadi bukan mamalia (misalnya tergolong reptil). Kita juga akan bilang profesor tersebut memang benar. Tapi seandainya kita tahu hewan itu menyusui namun di buku ternyata tidak tergolong mamalia atau seandainya kita tahu hewan itu tidak menyusui namun di buku ternyata tergolong mamalia, maka kita bisa menyimpulkan omongan si profesor tadi salah. Untuk kasus ini bisa jadi kita akan menemukan teori baru yang membantah teori si profesor.
Ilustrasi tadi cukup menggambarkan bukan? Jadi jelaslah jika tabel kebenaran dari suatu pernyataan biimplikasi “p jika dan hanya jika q” atau "p ⇔ q" dapat dinyatakan sebagai berikut:
Tabel 1. Tabel Kebenaran Biimplikasi
p q p ⇔ q
B B B
S B S
B S S
S S B
Demikian pula kita dapat melihat negasi dari pernyataan biimplikasi “p jika dan hanya jika q” adalah pernyataan “p namun bukan q atau bukan p namun q”. Bisa juga kita melihat negasi dari suatu biimplikasi sebagai gabungan pilihan eksklusif (logika XOR) dari dua pernyataan. Jadi negasi dari pernyataan biimplikasi “p jika dan hanya jika q” bisa juga kita pandang sebagai bentuk “p atau (ekslusif) q”.
Untuk kasus di atas sanggahan (negasi) atas pernyataan si profesor : “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia, demikian pula sebaliknya”, adalah pernyataan yang mengatakan bahwa: “Hewan itu menyusui namun tidak tergolong mamalia atau hewan itu tidak menyusui namun tergolong mamalia”. Secara lebih sederhana : “Hewan itu menyusui atau hewan itu mamalia, namun bukan kedua-duanya sekaligus”.
Notasi negasi biimplikasi adalah
~(p ⇔ q) = (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) = p ∨ q
Kita dapat membandingkan paralelisasi ketiganya dengan biimpilikasi pada tabel kebenaran berikut:
Tabel >2. Tabel Kebenaran Biimplikasi dan Negasinya
p q ~p ~q p ⇔ q ~(p ⇔q) (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) p ∨ q
B B S S B S S S
S B B S S B B B
B S S B S B B B
S S B B B B S S
Dalam kajian kitab-kitab Allah, kadang pembaca tanpa sadar mengasumsikan setiap implikasi adalah biimplikasi. Asumsi ini tidaklah benar. Keberadaan asumsi ini perlu kita sadari agar ketika mengkaji kitab, kita tidak terjebak ke dalam asumsi tanpa sadar ini. Tanpa ada alasan yang kuat, hindari mengasumsikan implikasi sebagai biimplikasi.
TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT
Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.
Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.
Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula campuran (contingent).
Contoh :
1. Tunjukkan bahwa pV(~p) adalah tautologi!
p • ~p pV(~p)
T T T
T F T
F T T
F F T
1. Tunjukkan bahwa (pVq) ^ [(~p) ^ (~q)] adalah kontradiksi!
p q • ~p ~q pVq • ~p ^ ~q (pVq) ^ [(~p) ^(~q)]
T T F F T F F
T F F T T F F
F T T F T F F
F F T T F T F
Tunjukkan bahwa [(p^q) =>r] => p adalah contingent!
p q r p^q (p^q) => r [(p^q) => r] => p
T T T T T T
T T F T T T
T F T F F T
T F F F F T
F T T F T F
F T F F T F
F F T F T F
F F F F T F
HUKUM PROPOSISI
Identitas p^1 = p pV0 = p
Ikatan pV1 = T p^0 = 0
Idempoten pVp = p p^p = p
Negasi pV~p = 1 p^~p = 0
Negasi Ganda • ~~p = p
Komutatif pVq = qVp p^q = q^p
Asosiatif (pVq)Vr =pV(qVr) (p^q)^r = p^(q^r)
Distributif pV(q^r) = (pVq)^(pVr) p^(qVr) = (p^q)V(p^r)
De Morgan’s • ~(p^q) =~p V ~q
• ~(pVq) = ~p ^ ~q
Aborbsi p^(pVq) = p pV(p^q) = p
Contoh 1.11 :
1. Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.
• ~(pV~q) V (~p^~q) = ~p
Penyelesaian
• ~(pV~q) V (~p^~q) = (~p^~(~q)) V (~p^~q)
= (~p^q) V (~p^~q)
=~p ^ (qV~q)
= ~p ^ T
= ~p Terbukti
Dalam membuktikan ekuivalensi p=q ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :
1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
2. Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P.
3. P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R
Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika p dan q sama-sama kompleks.
PENYEDERHANAAN LOGIKA
Operasi penyederhanaan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya perhatikan operasi penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.
Contoh :
1. ~p => ~(p => ~q)
=~p => ~(~p V ~q) ingat p=>q = ~pVq
= ~(~p) V~(~p V ~q) ingat p=>q =~pVq
= p V(p ^q) Hk. Negasi ganda dan De Morgan
=(pVp) ^ (pVq) Hk. Distributif
= p^(pVq) Hk. Idempoten pVp = p
= p Hk. Absorbsi
2. pV(p^q)
= (p^1) V(p^q) Hk.Identitas
=p^(1Vq) Hk.Distributif
=p^1 Hk.Identitas V
=p Hk.Identitas ^
3. (p=>q) ^ (q=>p)
= (~pVq) ^ (~qVp) ingat p=>q = ~pVq
= (~pVq) ^ (pV~q) Hk. Komutatif
=[(~pVq) ^p] V [(~pVq)^~q] Hk. Distributif
= [(p^~p)V(p^q)] V [(~pV~q)V(q^~q)] Hk. Distributif
=[0V(p^q)] V [(~p^~q)V0] Hk. Kontradiksi
=(p^q)V(~p^~q) Hk. Identitas
Operasi penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi logika adalah 1, maka ekspresi logika tersebut adalah tautologi. Jika hasil yang diperoleh adalah 0, berarti ekspresi logika tersebutkontradiksi. Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya adalah contingent.
Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
1. Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar).
2. 2+2=4 (Benar).
3. Semua manusia adalah fana (Benar).
4. 4 adalah bilangan prima (Salah).
5. 5×12=90 (Salah).
6. 13 adalah bilangan ganjil
7. Soekarno adalah alumnus UGM.
8. 1 + 1 = 2
9. 8 > akar kuadrat dari 8 + 8
10. Ada monyet di bulan
11. Hari ini adalah hari Rabu
12. Untuk sembarang bilangan bulat n>0, maka 2n adalah bilangan genaP
13. x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil
Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
1. Dimanakah letak pulau bali?.
2. Pandaikah dia?.
3. Andi lebih tinggi daripada Tina.
4. 3x-2y=5x+4.
5. x+y=2
6. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
7. Isilah gelas tersebut dengan air!
8. x + 3 = 8
9. x > 3
KOMBINASI PROPOSISI dan TABEL KEBENARAN
Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.
Dalam logika dikenal 5 buah penghubung
Simbol Arti Bentuk
~ Tidak/Not/Negasi Tidak………….
^ Dan/And/Konjungsi ……..dan……..
V Atau/Or/Disjungsi ………atau…….
=> Implikasi Jika…….maka…….
<=> Bi-Implikasi ……..bila dan hanya bila……..
Contoh 1.1 :
Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “Dinyatakan dengan simbol p ^ q
Contoh 1.2 :
Misalkan p: hari ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
1. Hari ini tidak hari minggu tetapi libur
2. Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur
3. Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur
Penyelesaian
1. Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p ^ q
2. ¬p ^¬q
3. ¬(p ^ q)
NEGASI (INGKARAN)
Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (~p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.
Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang :
Dibaca: tidak benar p atau bukan p
Contoh :
Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berikut :
a. p: 7 adalah bilangan prima (B)
p: tidak benar 7 adalah bilangan prima atau p: 7 bukan bilangan prima (S)
b. p: Surabaya terletak di Kalimantan (S)
p: tidak benar Surabaya terletak di Kalimantan atau p: Surabaya bukan terletak di Kalimantan (B)
Hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut:
Ungkapan tersebut dapat disajikan dengan menggunakan tabel yang disebut sebagai tabel kebenaran. Perhatikan tabel berikut ini :
p p
B
S S
B
PERNYATAAN MAJEMUK
A. KONJUNGSI
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “^”
Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang sebagai berikut:
(dibaca: p dan q)
Nilai kebenaran konjungsi p q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut:
Berdasarkan definisi di atas, tabel kebenaran konjungsi p q dapat ditunjukan seperti pada tabel dibawah ini ;
p Q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S
Contoh :
1. p: 4 + 3 = 7 (B)
q: 7 adalah bilangan ganjil (B)
p q : 4 + 3 = 7 dan 7 adalah bilangan ganjil (B)
2. p: Mangga adalah nama buah (B)
q: Mangga adalah buah berbentuk balok (S)
p q: Mangga adalah nama buah dan mangga adalah buah berbentuk balok(S)
B. DISJUNGSI
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “V”.
Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang sebagai berikut:
(dibaca : p atau q)
Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :
a. INKLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh :
p : 7 adalah bilangan prima
q : 7 adalah bilangan ganjil
p V q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.
b. EKSLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh :
p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.
q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.
p V q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.
Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.
Nilai kebenaran disjungsi p q dapat ditentukan melalui definisi berikut :
Berdasarkan defenisi di atas, tabel kebenaran disjungsi p q dapat ditunjukkan seperti tabel dibawah ini.
p q p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S S
B
B
S
Contoh :
1. Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut ini
p: 2 + 3 = 6 (S)
q: 6 adalah bilangan genap (B)
p q: 2 + 3 = 6 atau 6 adalah bilangan genap (B)
NEGASI DARI KONJUNGSI DAN DISJUNGSI
Jika diketahui konjungsi p q, negasinya adalah p q.
Jika diketahui disjungsi p q, negasinya adalah p q.
Adapun pembuktiannya dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran sebagai berikut;
p q p q p q ( p q) p q p q (p q) p q
B
B
S
S B
S
B
S S
S
B
B S
B
S
B B
S
S
S S
B
B
B S
B
B
B B
B
B
S S
S
S
B S
S
S
B
Dari tabel di atas terlihat bahwa nilai kebenaran (p q) sama dengan p q dan (p q) sama dengan p q.
Contoh :
p : 3 adalah bilangan asli
q : 3 adalah bilangan ganjil
p q : 3 adalah bilangan asli dan bilangan ganjil. (B)
p q : 3 bukan bilangan asli atau bukan bilangan ganjil. (S)
IMPLIKASI
Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “=>”.
Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut :
(dibaca: jika p maka q)
Dalam berbagai penerapan, implikasi p q dapat dibaca :
p hanya jika q
q jika p
p syarat cukup bagi q
q syarat perlu bagi p
Berdasarkan defenisi tersebut, tabel kebenaran implikasi p q dapat ditunjukkan pada tabel dibawah ini :
p q p q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B
Contoh :
1. p : pak rudi adalah manusia. (B)
q : Pak rudi kelak akan mati. (B)
p q : jika pak rudi adalah manusia, maka kelak akan mati. (B)
2. p : 2 + 5 = 7 (B)
q : 7 bukan bilangan prima (S)
p q : Jika 2 + 5 = 7, maka 7 bukan bilangan prima (S)
Notasi p=>q dapat dibaca :
1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p
Contoh 1.4:
1. p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p =>q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.
1. p : Hari hujan.
q : Adi membawa payung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut:
1. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
2. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
3. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
4. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.
NEGASI SUATU IMPLIKASI
Apabila diketahui implikasi p q, negasinya adalah p q.
Tabel kebenaran (p q) dan (p q) di perlihatkan pada tabel dibawah ini:
p Q q p q (p q) (p q)
B
B
S
S B
S
B
S S
B
S
B B
S
B
B S
B
S
S S
B
S
S
Berdasarkan penjelasan di atas bahwa [ (p q )] (p q). Jadi, (p q) (p q).
Perhatikan dari pernyataan berikut ini yang merupakan suatu implikasi :
“ jika ayam binatang berkaki dua , maka ayam binatang bertelur “
Negasi dari suatu implikasi di atas adalah “ ayam binatang berkaki dua akan tetapi ayam bukan binatang bertelur”
KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”
Bentuk umum implikasi di atas adalah “p => q” dengan
p : Bendera RI
q : Bendera yang ada warna merahnya.
Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :
1. KONVERS, yaitu q =>p
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.
2. INVERS, yaitu ~p => ~q
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya”.
3. KONTRAPOSISI, yaitu ~q =>~p
Sehingga implikasi di atas menjadi :
“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI”.
Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan invers dan konversnya.
Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut
p q • ~p ~ q p=>q q => p • ~p => ~q ~q=>~p
T T F F T T T T
T F F T F T T F
F T T F T F F T
F F T T T T T T
INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Contoh :
Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih”
Penyelesaian
Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI
q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih
maka kalimatnya menjadi p => q atau jika menggunakan operator dan maka p => q ekuivalen(sebanding/») dengan ~p V q. Sehingga
1. Negasi dari implikasi
Implikasi : (p=>q) =~p V q
Negasinya : ~(~pVq) =p^~q
Kalimatnya :“Suatu bendera adalah bendera RI dan bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih”.
2.Negasi dari konvers
Konvers : q=>p = ~qVp
Negasinya : ~(~qVp) = q^~p
Kalimatnya : “Ada/Terdapat bendera berwarna merah dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.
3.Negasi dari invers
Invers : ~p => ~q = ~(~p)V~q) = p^~q
Negasinya : ~(p^~q) = ~pVq
Kalimatnya : “Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan putih”.
4. Negasi dari kontraposisi
Kontraposisi : ~q => ~p = ~(~q)V~p = qV~p
Negasinya : ~(qV~p) = ~q^p
Kalimatnya : “ Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut adalah bendera RI”.
BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p <=> q” yang bernilai sama dengan (p <=>q) ^ (q <=> p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilai benar.
Contoh 1.5 :
p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
p<=>q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
Tabel Kebenaran
p Q • ~p ~q pVq p^q p=>q p<=> q
T T F F T T T T
T F F T T F F F
F T T F T F T F
F F T T F F T T
Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.
NEGASI SUATU BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p <=> q =(p => q) ^ (q =>p) sehingga : ~(p <=> q) = ~ [(p => q) ^ (q => p)]
= ~ [(~pVq ) ^ (~qVp)]
=~ (~pVq ) V ~(~qVp)
Biimplikasi (Bikondisional) Dan Negasinya
Suatu implikasi tidak dapat berlaku timbal balik. Sebagai ilustrasi marilah membayangkan implikasi “Jika adik naik pohon maka pohon bergoyang”. Implikasi ini tentu tidak dapat dibalik menjadi “Jika pohon bergoyang, maka adik naik pohon”. Pohon bisa saja bergoyang bukan karena adik naik, sedangkan kalau adik naik pohon pastilah pohon tersebut bergoyang.
Namun ada juga kasus yang berbeda. Bayangkanlah pernyataan “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia”. Pernyataan seperti ini berlaku timbal balik karena pernyataan “Jika hewan itu tergolong mamalia maka hewan itu menyusui”, setara dengan pernyataan sebelumnya. Untuk kasus ini 'sepertinya' implikasi " p ⇒ q" sama dengan implikasi “q ⇒ p”. Kasus seperti inilah yang dimaksud dengan biimplikasi. Jadi dapat disimpulkan biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan dengan bentuk kondisional (sebab-akibat) dimana sebab dan akibatnya dapat dipertukarkan. Pernyataan sebabnya mengakibatkan pernyataan akibat dan juga sebaliknya.
Untuk membedakannya dengan implikasi, operator biimplikasi dilambangkan dengan “⇔”, sedangkan pengalimatannya menggunakan bentuk “…. (pernyataan pertama) jika dan hanya jika …. (pernyataan kedua)”. Dalam keseharian biimplikasi biasanya memakai bentuk pengalimatan “jika… (pernyataan pertama) maka … (pernyataan kedua), demikian pula sebaliknya”.
Marilah kita meninjau lagi contoh biimplikasi “menyusui-mamalia” yang seolah-olah kita temukan di atas. Namun sekarang kita akan mengalimatkannya dengan gaya biimplikasi matematis (mudah-mudahan tidak jadi ribet). Kalimat biimplikasi kita berbunyi : “Hewan itu menyusui jika dan hanya jika hewan itu tergolong mamalia”. Ribet ya? Kalau lebih suka marilah memakai kalimat yang lebih lazim : “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia, demikian pula sebaliknya”. Nah… kalimat ini adalah gabungan biimplikasi dari pernyataan “Hewan itu menyusui” dan pernyataan “Hewan itu tergolong mamalia”. Kalimat ini akan bernilai benar jika:
1. Pernyataan pertama (Hewan itu menyusui) dan pernyataan kedua (Hewan itu tergolong mamalia) sama-sama bernilai benar, atau
2. Pernyataan pertama dan pernyataan kedua sama-sama bernilai salah.
Mengapa demikian? Mari memudahkannya dengan membayangkan kalimat tersebut diucapkan oleh seorang profesor taksonomi hewan sebagai jawaban saat kita menanyakan tergolong hewan apakah hewan aneh yang sedang kita pegang. Karena professor itu sibuk, beliau tidak melihat hewan kita. Profesor yang budiman itu cuma menjawab dari jarak jauh: “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia, demikian pula sebaliknya. Inilah teori buatan saya, buktikan sendiri”. Lalu ia melemparkan, juga dari jarak jauh, buku taksonomi hewannya. Buku itu memang memuat jawaban yang benar.
Kalau kita tahu hewan itu menyusui dan setelah kita lihat di buku taksonomi hewan ternyata tergolong mamalia maka kita bisa bilang teori profesor tadi memang benar. Demikian juga seandainya kita tahu bahwa hewan itu tidak menyusui dan setelah kita lihat di buku taksonomi ternyata hewan tadi bukan mamalia (misalnya tergolong reptil). Kita juga akan bilang profesor tersebut memang benar. Tapi seandainya kita tahu hewan itu menyusui namun di buku ternyata tidak tergolong mamalia atau seandainya kita tahu hewan itu tidak menyusui namun di buku ternyata tergolong mamalia, maka kita bisa menyimpulkan omongan si profesor tadi salah. Untuk kasus ini bisa jadi kita akan menemukan teori baru yang membantah teori si profesor.
Ilustrasi tadi cukup menggambarkan bukan? Jadi jelaslah jika tabel kebenaran dari suatu pernyataan biimplikasi “p jika dan hanya jika q” atau "p ⇔ q" dapat dinyatakan sebagai berikut:
Tabel 1. Tabel Kebenaran Biimplikasi
p q p ⇔ q
B B B
S B S
B S S
S S B
Demikian pula kita dapat melihat negasi dari pernyataan biimplikasi “p jika dan hanya jika q” adalah pernyataan “p namun bukan q atau bukan p namun q”. Bisa juga kita melihat negasi dari suatu biimplikasi sebagai gabungan pilihan eksklusif (logika XOR) dari dua pernyataan. Jadi negasi dari pernyataan biimplikasi “p jika dan hanya jika q” bisa juga kita pandang sebagai bentuk “p atau (ekslusif) q”.
Untuk kasus di atas sanggahan (negasi) atas pernyataan si profesor : “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia, demikian pula sebaliknya”, adalah pernyataan yang mengatakan bahwa: “Hewan itu menyusui namun tidak tergolong mamalia atau hewan itu tidak menyusui namun tergolong mamalia”. Secara lebih sederhana : “Hewan itu menyusui atau hewan itu mamalia, namun bukan kedua-duanya sekaligus”.
Notasi negasi biimplikasi adalah
~(p ⇔ q) = (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) = p ∨ q
Kita dapat membandingkan paralelisasi ketiganya dengan biimpilikasi pada tabel kebenaran berikut:
Tabel >2. Tabel Kebenaran Biimplikasi dan Negasinya
p q ~p ~q p ⇔ q ~(p ⇔q) (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) p ∨ q
B B S S B S S S
S B B S S B B B
B S S B S B B B
S S B B B B S S
Dalam kajian kitab-kitab Allah, kadang pembaca tanpa sadar mengasumsikan setiap implikasi adalah biimplikasi. Asumsi ini tidaklah benar. Keberadaan asumsi ini perlu kita sadari agar ketika mengkaji kitab, kita tidak terjebak ke dalam asumsi tanpa sadar ini. Tanpa ada alasan yang kuat, hindari mengasumsikan implikasi sebagai biimplikasi.
TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT
Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.
Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.
Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula campuran (contingent).
Contoh :
1. Tunjukkan bahwa pV(~p) adalah tautologi!
p • ~p pV(~p)
T T T
T F T
F T T
F F T
1. Tunjukkan bahwa (pVq) ^ [(~p) ^ (~q)] adalah kontradiksi!
p q • ~p ~q pVq • ~p ^ ~q (pVq) ^ [(~p) ^(~q)]
T T F F T F F
T F F T T F F
F T T F T F F
F F T T F T F
Tunjukkan bahwa [(p^q) =>r] => p adalah contingent!
p q r p^q (p^q) => r [(p^q) => r] => p
T T T T T T
T T F T T T
T F T F F T
T F F F F T
F T T F T F
F T F F T F
F F T F T F
F F F F T F
HUKUM PROPOSISI
Identitas p^1 = p pV0 = p
Ikatan pV1 = T p^0 = 0
Idempoten pVp = p p^p = p
Negasi pV~p = 1 p^~p = 0
Negasi Ganda • ~~p = p
Komutatif pVq = qVp p^q = q^p
Asosiatif (pVq)Vr =pV(qVr) (p^q)^r = p^(q^r)
Distributif pV(q^r) = (pVq)^(pVr) p^(qVr) = (p^q)V(p^r)
De Morgan’s • ~(p^q) =~p V ~q
• ~(pVq) = ~p ^ ~q
Aborbsi p^(pVq) = p pV(p^q) = p
Contoh 1.11 :
1. Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.
• ~(pV~q) V (~p^~q) = ~p
Penyelesaian
• ~(pV~q) V (~p^~q) = (~p^~(~q)) V (~p^~q)
= (~p^q) V (~p^~q)
=~p ^ (qV~q)
= ~p ^ T
= ~p Terbukti
Dalam membuktikan ekuivalensi p=q ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :
1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
2. Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P.
3. P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R
Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika p dan q sama-sama kompleks.
PENYEDERHANAAN LOGIKA
Operasi penyederhanaan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya perhatikan operasi penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.
Contoh :
1. ~p => ~(p => ~q)
=~p => ~(~p V ~q) ingat p=>q = ~pVq
= ~(~p) V~(~p V ~q) ingat p=>q =~pVq
= p V(p ^q) Hk. Negasi ganda dan De Morgan
=(pVp) ^ (pVq) Hk. Distributif
= p^(pVq) Hk. Idempoten pVp = p
= p Hk. Absorbsi
2. pV(p^q)
= (p^1) V(p^q) Hk.Identitas
=p^(1Vq) Hk.Distributif
=p^1 Hk.Identitas V
=p Hk.Identitas ^
3. (p=>q) ^ (q=>p)
= (~pVq) ^ (~qVp) ingat p=>q = ~pVq
= (~pVq) ^ (pV~q) Hk. Komutatif
=[(~pVq) ^p] V [(~pVq)^~q] Hk. Distributif
= [(p^~p)V(p^q)] V [(~pV~q)V(q^~q)] Hk. Distributif
=[0V(p^q)] V [(~p^~q)V0] Hk. Kontradiksi
=(p^q)V(~p^~q) Hk. Identitas
Operasi penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi logika adalah 1, maka ekspresi logika tersebut adalah tautologi. Jika hasil yang diperoleh adalah 0, berarti ekspresi logika tersebutkontradiksi. Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya adalah contingent.
cinta yg tulus
cinta yang tulus di dalam hatiku
tlah bersemi karenamu
hati yang suram kini tiada lagi
tlah bersinar karenamu
ooo...ooo...ooo
biarkan hujan membasahi bumi
atau bulan yang tida berseri
namun jangan kau biarkan cintaku
yang tulus suci hanya padamu
semua yang ada padamu ooo
membuat diriku tiada berdaya
hanyalah bagimu
untukmu tuhanku
seluruh hidupku...
semua yang ada padamu ooo
membuat diriku tiada berdaya
hanyalah bagimu
untukmu tuhanku
seluruh hidup dan cintaku
cinta yang tulus di dalam hatiku
tlah bersemi karenamu
hati yang suram kini tiada lagi
tlah bersinar karenamu
semua yang ada padamu ooo
membuat diriku tiada berdaya
hanyalah bagimu
untukmu tuhanku
seluruh hidup dan cintaku
gigi feat gito rolies
tlah bersemi karenamu
hati yang suram kini tiada lagi
tlah bersinar karenamu
ooo...ooo...ooo
biarkan hujan membasahi bumi
atau bulan yang tida berseri
namun jangan kau biarkan cintaku
yang tulus suci hanya padamu
semua yang ada padamu ooo
membuat diriku tiada berdaya
hanyalah bagimu
untukmu tuhanku
seluruh hidupku...
semua yang ada padamu ooo
membuat diriku tiada berdaya
hanyalah bagimu
untukmu tuhanku
seluruh hidup dan cintaku
cinta yang tulus di dalam hatiku
tlah bersemi karenamu
hati yang suram kini tiada lagi
tlah bersinar karenamu
semua yang ada padamu ooo
membuat diriku tiada berdaya
hanyalah bagimu
untukmu tuhanku
seluruh hidup dan cintaku
gigi feat gito rolies
Subscribe to:
Comments (Atom)