biimplikasi

Mari berlatih lagi nalar logika matematika lagi. Agar semakin mahir, semakin mantap, dan berguna bagi diri kita.
Kali ini, Paman APIQ mengajak kita menyelidiki logika matematika implikasi dan biimplikasi.
(1) n = 3
(2) n adalah ganjil
Struktur logika implikasi yang dapat kita susun adalah:
JIKA n = 3 MAKA n adalah bilangan ganjil.
Logis dan masuk akal pernyataan implikasi di atas. Mari kita asumsikan pernyataan implikasi di atas adalah benar. Bagaimana kita menarik kesimpulan?
A. Diketahui n = 3.
Kesimpulan kita n adalah bilangan ganjil. Sah dan benar.
B. Diketahui n tidak = 3.
Kesimpulan kita n adalah bukan bilangan ganjil. (Tidak sah). Karena mungkin saja n = 7 yang merupakan bilangan ganjil.
Dalam situasi ini n dapat saja ganjil atau tidak ganjil. Kita tidak dapat menarik kesimpulan dengan pasti.
C. Diketahui n adalah bilangan ganjil.
Kesimpulan kita adalah n = 3. (Tidak sah). Karena mungkin saja n = 7. Dalam situasi ini kita tidak dapat menarik kesimpulan yang pasti.
D. Diketahui n bukan bilangan ganjil.
Kesimpulan kita adalah n tidak = 3. (Sah dan benar). Kesimpulan kita ini pasti benar.
Dari 4 situasi di atas (A, B, C, D) kita hanya dapat menarik kesimpulan dalam 2 situasi yaitu A dan D. Jadi kita perlu hati-hati ketika menarik kesimpulan.
Mari kita bandingkan dengan situasi biimplikasi.
(1) n = 3
(2) 2n = 6
Kita susun struktur biimplikasi
JIKA DAN HANYA JIKA n = 3 MAKA 2n = 6.
Logis, masuk akal, dapat kita pahami. Mari kita asumsikan biimplikasi di atas adalah benar.
A. Diketahui n = 3.
Kesimpulan kita adalah 2n = 6. (Sah dan benar).
B. Diketahui n tidak = 3.
Kesimpulan kita adalah 2n tidak = 6. (Sah dan benar).
C. Diketahui 2n = 6.
Kesimpulan kita adalah n = 3. (Sah dan benar).
D. Diketahui 2n tidak = 6.
Kesimpulan kita n tidak = 3. (Sah dan benar).
Perhatikan dalam segala situasi biimplikasi kita dapat menarik kesimpulan secara sah.
Sedangkan tidak semua situasi implikasi kita dapat menarik kesimpulan yang sah.
Yuk…sekarang mari kita bermain-main.
(1) Rajin belajar.
(2) Mendapat nilai bagus.
A. Diketahui “Rajin belajar”.
Kesimpulannya?
Pasti mendapat nilai bagus?
Mungkin tidak mendapat nilai bagus?
B. Diketahui “Tidak rajin belajar”.
Kesimpulannya?
Pasti tidak mendapat nilai bagus?
Mungkin saja mendapat nilai bagus?
C. Diketahui “Mendapat nilai bagus”.
Kesimpulannya?
Pasti rajin belajar?
Mungkin saja tidak rajin belajar?
D. Diketahui “Tidak mendapat nilai bagus”.
Kesimpulannya?
Pasti tidak rajin belajar?
Mungkin saja sudah rajin belajar?
Dari 4 kondisi A, B, C, D, di atas kira-kira kondisi mana yang membuat kita yakin membuat kesimpulan?
Tampaknya kita hanya yakin pada kondisi D:
JIKA (ternyata) tidak mendapat nilai bagus MAKA (itu dikarenakan oleh dia ) tidak rajin belajar.
Ini adalah struktur implikasi. Mari kita anggap implikasi di atas adalah benar. Ternyata masih banyak orang salah berpikir dengan menyatakan:
JIKA mendapat nilai bagus MAKA (karena pasti ia) rajin belajar. (Pernyataan ini tidak sah). Mungkin saja ia mendapat nilai bagus karena keberuntungan atau “lainnya”.
JIKA tidak rajin belajar MAKA tidak mendapat nilai bagus. (Pernyataan ini tidak sah).
JIKA rajin belajar MAKA mendapat nilai bagus. (Pernyataan ini sah dan benar). Struktur logika ini kita kenal sebagai kontra posisi dari suatu implikasi.
Sedangkan untuk biimplikasi kita lebih mudah memahaminya. Hanya saja kita harus yakin bahwa situasi kita benar-benar biimplikasi.
Contoh:
JIKA DAN HANYA JIKA matahari terbit MAKA pagi telah tiba.
Orang pada umumnya menarik kesimpulan yang benar untuk contoh-contoh biimplikasi di atas.
JIKA matahari terbit MAKA pagi telah tiba. (Sah dan benar).
JIKA matahari tidak terbit MAKA pagi belum tiba. (Sah dan benar).
JIKA pagi telah tiba MAKA matahari terbit. (Sah dan benar).
JIKA pagi belum tiba MAKA matahari belum terbit. (Sah dan benar).
Berhati-hatilah dengan implikasi karena berbeda dengan biimplikasi.
Setelah kita berlama-lama dalam bahasan logika matematika, akhirnya sampai juga pada penerapan paling utamanya. Yaitu dalam mengerjakan soal atau dalam proses pembuktian.
Penggunaan simbol yang tepat bisa lebih melancarkan komunikasi dalam matematika.
Dan juga, penggunaan simbol ini bisa digunakan untuk membongkar soal-soal paradoks, yang banyak ditulis sebagai hiburan iseng orang matematika (termasuk dalam blog saya ini )
Kita simak dulu beberapa contoh pendahuluan berikut:
Dalam aljabar, menambahkan atau mengurangi kedua ruas dengan sesuatu yang sama, adalah benar. Sehingga kita bisa mendapatkan :
x = y => x + z = y + z…..(menambah kedua ruas)
dan
x + z = y + z => x = y (mengurangi kedua ruas)
Sehingga kita bisa menuliskannya dalam bentuk yang lebih singkat sebagai :
x = y <=> x + z = y + z.
Akan tetapi, tidak semua langkah aljabar bisa di tulis bolak-balik seperti contoh di atas.
Contoh 2:
x = y =>x2 = y2 adalah benar
sedangkan kalo dibalik arahnya.
x2 = y2 , maka belum tentu menyebabkan x = y, ada kemungkinan lain yaitu x= -y .
Sehingga tidak bisa kita tulis dalam biimplikasi.
Kesimpulan 1:
Implikasi menunjukan kebenaran logis satu arah, sedangkan biimplikasi dua arah.
****
Oke, itu dasarnya, mengenai kapan kita harus menggunakan notasi => dan <=>









(Perhatikan langkah-langkah ketika simbol implikasi dan biimplikasi muncul.)
Semua langkah di atas lengkap dan logis, yang pada akhirnya didapat jawaban : {4, 144}. Namun coba anda masukan ke dalam soal (persamaan awal). Maka hasilnya akan salah.
Kenapa terjadi demikian ?, apa yang salah ?
Nah ternyata, kuncinya terletak pada penggunaan simbol yang sedang kita bahas: => dan <=>.
Gimana, sudah mulai tertarik ?, jika ya, kita bahas. Let’s Go !!!!!!!!
Pada contoh 3 kita di atas. Tidak semua langkah terhubung dengan simbol biimplikasi (di sela-sela proses muncul simbol implikasi). Artinya, kebenaran logis tidak berlaku dua arah. Sehingga memang tidak ada yang menjamin benar jika kita membalikan proses (memasukan nilai akhir ke dalam persamaan awal).
Lalu apa yang terjadi sebenarnya ?
Jika, setelah semua langkah kita logis, namun ketika dimasukan ke persamaan awal ternyata tidak memenuhi. Artinya kita bisa mengatakan ”soal contoh 3 tidak memiliki penyelesaian”.
Kesimpulan 2:
Jika muncul tanda implikasi, kita harus cross check setiap jawaban akhir. Karena tidak ada yang menjamin, artinya ada dua kemungkinan : memenuhi atau tidak . Dalam bahasa umum : soal punya penyelesaian atau tidak.
NB: saya sarankan juga, langkah cross check ini menjadi kebiasaan, meskipun semua tanda yang muncul adalah biimplikasi, dengan tujuan kalo’-kalo’ ada langkah kita yang keliru, bisa langsung terlihat dan ditelusuri lagi keabsahannya perlangkah.
Masih pengen contoh lagi ?
Contoh 4:
Selesaikan sistem persamaan berikut :
2a – 5b = 3, dan 10b – 4a = -5
Jawab :
2a – 5b = 3, dan 10b – 4a = – 5
=> 2(2a – 5b) + (10b -4a) = 2 x 3 + (-5)
<=> 4a – 10b + 10b- 4a = 1
<=> 0 = 1
Ini bukan pembuktian bahwa 0 = 1. (trik gini dah basi)
Ini hanya menunjukan bahwa symbol => yang tersisip dalam langkah-langkah, memutus mata rantai bolak-balik. Artinya tidak ada jaminan bahwa hasil akhirnya adalah sebagai solusi (lihat kesimpulan 1).
Lalu artinya apa ?
Karena kita tahu bahwa 0 = 1 adalah salah. Maka pasti soal juga salah, dengan kata lain : sistem persamaan di atas tidak punya penyelesaian. Atau dengan kata lain lagi: ” tidak ada nilai a dan b yang memenuhi sistem persamaan di atas ”.
NB: pemahaman dasar ini sebagai fundamen bagi anda dalam memahami teknik pembuktian dengan cara ”kontradiksi”.