Perkembangan Kalkulus

Sejarah perkembangan kalkulus bisa diketahui pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno beberapa pemikiran tentang integral kalkulus telah muncul, namun tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas, fungsi utama dari integral kalkulus, bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM), yang mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh, menciptakan heuristik yang menyerupai integral kalkulus.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II di abad ke-12 mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle”.
Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus untuk menghitung hasil jumlah pangkat empat, dan menggunakan induksi matematika. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam diferensial kalkulus. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa

Sedangkan pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari Teorema Fundamental Kalkulus pada tahun 1668.

B. Prinsip – prinsip Kalkulus
1. Limit Kecil Tak Terhingga

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini yang mana dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain infinitesimal(kecil tak terhingga) tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi inifintesimal.

Pada abad ke-19, konsep infinitesimal digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.
2. Turunan / Diferensial

Diferensial kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik. Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit dari konsep yang ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, kita mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuah angka dan output sebuah angka. tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi.

Dalam notasi matematika, salah satu simbol yang umum dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f’.

Jika fungsi tersebut adalah linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:

Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. jika sebuah fungsi bukan garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. kemiringan dari suatu fungsi dapat diekspresikan:


Di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua titik.

Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:


sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9) adalah


3. Integral

Integral kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep yang salaing berhubungan, integral tak tentu dan integral tertentu.

Simbol dari integral adalah , berupa S yang dipanjangkan (singkatan dari “sum”).

a. Integral tak tentu adalah anti derivatif , kebalikan dari turunan. F adalah integral tak tentu dari f ketika f adalah turunan dari F.

ditulis

; di baca “Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x.”

b. integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dan outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberika luas antar grafik dan sumbu x.

ditulis:

Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ‘ = 2x (di mana C adalah konstanta),

.
4. Teorema Fundamental

Teorema fundamental kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan definisi dari integral, teorema fundamental kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.

Teorema fundamental kalkulus menyatakan: Jika sebuah fungsi f adalah kontiniu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),


C. Kegunaan Kalkulus

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Salah satu penggunaan kalkulus yaitu pada penggunaan hukum gerak Newton.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih detail mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, matematikawan dan filsuf berusaha untuk memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret tak terhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama limit dan deret tak terhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.