PERNYATAAN/ PROPOSISI

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.
Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
1. Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar).
2. 2+2=4 (Benar).
3. Semua manusia adalah fana (Benar).
4. 4 adalah bilangan prima (Salah).
5. 5×12=90 (Salah).
6. 13 adalah bilangan ganjil
7. Soekarno adalah alumnus UGM.
8. 1 + 1 = 2
9. 8 > akar kuadrat dari 8 + 8
10. Ada monyet di bulan
11. Hari ini adalah hari Rabu
12. Untuk sembarang bilangan bulat n>0, maka 2n adalah bilangan genaP
13. x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil
Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
1. Dimanakah letak pulau bali?.
2. Pandaikah dia?.
3. Andi lebih tinggi daripada Tina.
4. 3x-2y=5x+4.
5. x+y=2
6. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
7. Isilah gelas tersebut dengan air!
8. x + 3 = 8
9. x > 3


KOMBINASI PROPOSISI dan TABEL KEBENARAN
Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.
Dalam logika dikenal 5 buah penghubung
Simbol Arti Bentuk
~ Tidak/Not/Negasi Tidak………….
^ Dan/And/Konjungsi ……..dan……..
V Atau/Or/Disjungsi ………atau…….
=> Implikasi Jika…….maka…….
<=> Bi-Implikasi ……..bila dan hanya bila……..

Contoh 1.1 :
Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “Dinyatakan dengan simbol p ^ q
Contoh 1.2 :
Misalkan p: hari ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
1. Hari ini tidak hari minggu tetapi libur
2. Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur
3. Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur
Penyelesaian
1. Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p ^ q
2. ¬p ^¬q
3. ¬(p ^ q)

NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (~p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.
Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang :



Dibaca: tidak benar p atau bukan p
Contoh :
Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berikut :
a. p: 7 adalah bilangan prima (B)
p: tidak benar 7 adalah bilangan prima atau p: 7 bukan bilangan prima (S)
b. p: Surabaya terletak di Kalimantan (S)
p: tidak benar Surabaya terletak di Kalimantan atau p: Surabaya bukan terletak di Kalimantan (B)

Hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut:


Ungkapan tersebut dapat disajikan dengan menggunakan tabel yang disebut sebagai tabel kebenaran. Perhatikan tabel berikut ini :

p p
B

S S

B
PERNYATAAN MAJEMUK
A. KONJUNGSI
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “^”
Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang sebagai berikut:

(dibaca: p dan q)
Nilai kebenaran konjungsi p  q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut:




Berdasarkan definisi di atas, tabel kebenaran konjungsi p  q dapat ditunjukan seperti pada tabel dibawah ini ;
p Q p  q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S

Contoh :
1. p: 4 + 3 = 7 (B)
q: 7 adalah bilangan ganjil (B)
p  q : 4 + 3 = 7 dan 7 adalah bilangan ganjil (B)
2. p: Mangga adalah nama buah (B)
q: Mangga adalah buah berbentuk balok (S)
p  q: Mangga adalah nama buah dan mangga adalah buah berbentuk balok(S)



B. DISJUNGSI
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “V”.
Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang sebagai berikut:



(dibaca : p atau q)
Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :
a. INKLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh :
p : 7 adalah bilangan prima
q : 7 adalah bilangan ganjil
p V q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.
b. EKSLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh :
p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.
q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.
p V q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.
Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.
Nilai kebenaran disjungsi p  q dapat ditentukan melalui definisi berikut :




Berdasarkan defenisi di atas, tabel kebenaran disjungsi p  q dapat ditunjukkan seperti tabel dibawah ini.
p q p  q p  q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S S
B
B
S

Contoh :
1. Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut ini
p: 2 + 3 = 6 (S)
q: 6 adalah bilangan genap (B)
p  q: 2 + 3 = 6 atau 6 adalah bilangan genap (B)


NEGASI DARI KONJUNGSI DAN DISJUNGSI

Jika diketahui konjungsi p  q, negasinya adalah p  q.
Jika diketahui disjungsi p  q, negasinya adalah p  q.
Adapun pembuktiannya dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran sebagai berikut;

p q p q p  q ( p  q) p  q p  q (p  q) p  q
B
B
S
S B
S
B
S S
S
B
B S
B
S
B B
S
S
S S
B
B
B S
B
B
B B
B
B
S S
S
S
B S
S
S
B


Dari tabel di atas terlihat bahwa nilai kebenaran (p  q) sama dengan p  q dan (p  q) sama dengan p  q.

Contoh :
p : 3 adalah bilangan asli
q : 3 adalah bilangan ganjil
p  q : 3 adalah bilangan asli dan bilangan ganjil. (B)
p  q : 3 bukan bilangan asli atau bukan bilangan ganjil. (S)







IMPLIKASI
Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “=>”.
Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut :

(dibaca: jika p maka q)
Dalam berbagai penerapan, implikasi p  q dapat dibaca :
 p hanya jika q
 q jika p
 p syarat cukup bagi q
 q syarat perlu bagi p




Berdasarkan defenisi tersebut, tabel kebenaran implikasi p  q dapat ditunjukkan pada tabel dibawah ini :
p q p  q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B

Contoh :
1. p : pak rudi adalah manusia. (B)
q : Pak rudi kelak akan mati. (B)
p  q : jika pak rudi adalah manusia, maka kelak akan mati. (B)

2. p : 2 + 5 = 7 (B)
q : 7 bukan bilangan prima (S)
p  q : Jika 2 + 5 = 7, maka 7 bukan bilangan prima (S)
Notasi p=>q dapat dibaca :
1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p
Contoh 1.4:
1. p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p =>q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.
1. p : Hari hujan.
q : Adi membawa payung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut:
1. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
2. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
3. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
4. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

















NEGASI SUATU IMPLIKASI

Apabila diketahui implikasi p  q, negasinya adalah p  q.


Tabel kebenaran (p  q) dan (p  q) di perlihatkan pada tabel dibawah ini:
p Q q p  q (p  q) (p  q)
B
B
S
S B
S
B
S S
B
S
B B
S
B
B S
B
S
S S
B
S
S

Berdasarkan penjelasan di atas bahwa [ (p  q )]  (p  q). Jadi, (p  q)  (p  q).
Perhatikan dari pernyataan berikut ini yang merupakan suatu implikasi :
“ jika ayam binatang berkaki dua , maka ayam binatang bertelur “
Negasi dari suatu implikasi di atas adalah “ ayam binatang berkaki dua akan tetapi ayam bukan binatang bertelur”





KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”
Bentuk umum implikasi di atas adalah “p => q” dengan
p : Bendera RI
q : Bendera yang ada warna merahnya.
Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :
1. KONVERS, yaitu q =>p
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.
2. INVERS, yaitu ~p => ~q
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya”.
3. KONTRAPOSISI, yaitu ~q =>~p
Sehingga implikasi di atas menjadi :
“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI”.
Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan invers dan konversnya.
Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut
p q • ~p ~ q p=>q q => p • ~p => ~q ~q=>~p
T T F F T T T T
T F F T F T T F
F T T F T F F T
F F T T T T T T















INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Contoh :
Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih”
Penyelesaian
Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI
q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih
maka kalimatnya menjadi p => q atau jika menggunakan operator dan maka p => q ekuivalen(sebanding/») dengan ~p V q. Sehingga
1. Negasi dari implikasi
Implikasi : (p=>q) =~p V q
Negasinya : ~(~pVq) =p^~q
Kalimatnya :“Suatu bendera adalah bendera RI dan bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih”.
2.Negasi dari konvers
Konvers : q=>p = ~qVp
Negasinya : ~(~qVp) = q^~p
Kalimatnya : “Ada/Terdapat bendera berwarna merah dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.
3.Negasi dari invers
Invers : ~p => ~q = ~(~p)V~q) = p^~q
Negasinya : ~(p^~q) = ~pVq
Kalimatnya : “Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan putih”.
4. Negasi dari kontraposisi
Kontraposisi : ~q => ~p = ~(~q)V~p = qV~p
Negasinya : ~(qV~p) = ~q^p
Kalimatnya : “ Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut adalah bendera RI”.










BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p <=> q” yang bernilai sama dengan (p <=>q) ^ (q <=> p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilai benar.
Contoh 1.5 :
p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
p<=>q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
Tabel Kebenaran
p Q • ~p ~q pVq p^q p=>q p<=> q
T T F F T T T T
T F F T T F F F
F T T F T F T F
F F T T F F T T
Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.
NEGASI SUATU BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p <=> q =(p => q) ^ (q =>p) sehingga : ~(p <=> q) = ~ [(p => q) ^ (q => p)]
= ~ [(~pVq ) ^ (~qVp)]
=~ (~pVq ) V ~(~qVp)
Biimplikasi (Bikondisional) Dan Negasinya
Suatu implikasi tidak dapat berlaku timbal balik. Sebagai ilustrasi marilah membayangkan implikasi “Jika adik naik pohon maka pohon bergoyang”. Implikasi ini tentu tidak dapat dibalik menjadi “Jika pohon bergoyang, maka adik naik pohon”. Pohon bisa saja bergoyang bukan karena adik naik, sedangkan kalau adik naik pohon pastilah pohon tersebut bergoyang.
Namun ada juga kasus yang berbeda. Bayangkanlah pernyataan “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia”. Pernyataan seperti ini berlaku timbal balik karena pernyataan “Jika hewan itu tergolong mamalia maka hewan itu menyusui”, setara dengan pernyataan sebelumnya. Untuk kasus ini 'sepertinya' implikasi " p ⇒ q" sama dengan implikasi “q ⇒ p”. Kasus seperti inilah yang dimaksud dengan biimplikasi. Jadi dapat disimpulkan biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan dengan bentuk kondisional (sebab-akibat) dimana sebab dan akibatnya dapat dipertukarkan. Pernyataan sebabnya mengakibatkan pernyataan akibat dan juga sebaliknya.
Untuk membedakannya dengan implikasi, operator biimplikasi dilambangkan dengan “⇔”, sedangkan pengalimatannya menggunakan bentuk “…. (pernyataan pertama) jika dan hanya jika …. (pernyataan kedua)”. Dalam keseharian biimplikasi biasanya memakai bentuk pengalimatan “jika… (pernyataan pertama) maka … (pernyataan kedua), demikian pula sebaliknya”.
Marilah kita meninjau lagi contoh biimplikasi “menyusui-mamalia” yang seolah-olah kita temukan di atas. Namun sekarang kita akan mengalimatkannya dengan gaya biimplikasi matematis (mudah-mudahan tidak jadi ribet). Kalimat biimplikasi kita berbunyi : “Hewan itu menyusui jika dan hanya jika hewan itu tergolong mamalia”. Ribet ya? Kalau lebih suka marilah memakai kalimat yang lebih lazim : “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia, demikian pula sebaliknya”. Nah… kalimat ini adalah gabungan biimplikasi dari pernyataan “Hewan itu menyusui” dan pernyataan “Hewan itu tergolong mamalia”. Kalimat ini akan bernilai benar jika:
1. Pernyataan pertama (Hewan itu menyusui) dan pernyataan kedua (Hewan itu tergolong mamalia) sama-sama bernilai benar, atau
2. Pernyataan pertama dan pernyataan kedua sama-sama bernilai salah.
Mengapa demikian? Mari memudahkannya dengan membayangkan kalimat tersebut diucapkan oleh seorang profesor taksonomi hewan sebagai jawaban saat kita menanyakan tergolong hewan apakah hewan aneh yang sedang kita pegang. Karena professor itu sibuk, beliau tidak melihat hewan kita. Profesor yang budiman itu cuma menjawab dari jarak jauh: “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia, demikian pula sebaliknya. Inilah teori buatan saya, buktikan sendiri”. Lalu ia melemparkan, juga dari jarak jauh, buku taksonomi hewannya. Buku itu memang memuat jawaban yang benar.
Kalau kita tahu hewan itu menyusui dan setelah kita lihat di buku taksonomi hewan ternyata tergolong mamalia maka kita bisa bilang teori profesor tadi memang benar. Demikian juga seandainya kita tahu bahwa hewan itu tidak menyusui dan setelah kita lihat di buku taksonomi ternyata hewan tadi bukan mamalia (misalnya tergolong reptil). Kita juga akan bilang profesor tersebut memang benar. Tapi seandainya kita tahu hewan itu menyusui namun di buku ternyata tidak tergolong mamalia atau seandainya kita tahu hewan itu tidak menyusui namun di buku ternyata tergolong mamalia, maka kita bisa menyimpulkan omongan si profesor tadi salah. Untuk kasus ini bisa jadi kita akan menemukan teori baru yang membantah teori si profesor.
Ilustrasi tadi cukup menggambarkan bukan? Jadi jelaslah jika tabel kebenaran dari suatu pernyataan biimplikasi “p jika dan hanya jika q” atau "p ⇔ q" dapat dinyatakan sebagai berikut:
Tabel 1. Tabel Kebenaran Biimplikasi
p q p ⇔ q
B B B
S B S
B S S
S S B
Demikian pula kita dapat melihat negasi dari pernyataan biimplikasi “p jika dan hanya jika q” adalah pernyataan “p namun bukan q atau bukan p namun q”. Bisa juga kita melihat negasi dari suatu biimplikasi sebagai gabungan pilihan eksklusif (logika XOR) dari dua pernyataan. Jadi negasi dari pernyataan biimplikasi “p jika dan hanya jika q” bisa juga kita pandang sebagai bentuk “p atau (ekslusif) q”.
Untuk kasus di atas sanggahan (negasi) atas pernyataan si profesor : “Jika hewan itu menyusui maka hewan itu tergolong mamalia, demikian pula sebaliknya”, adalah pernyataan yang mengatakan bahwa: “Hewan itu menyusui namun tidak tergolong mamalia atau hewan itu tidak menyusui namun tergolong mamalia”. Secara lebih sederhana : “Hewan itu menyusui atau hewan itu mamalia, namun bukan kedua-duanya sekaligus”.
Notasi negasi biimplikasi adalah
~(p ⇔ q) = (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) = p ∨ q
Kita dapat membandingkan paralelisasi ketiganya dengan biimpilikasi pada tabel kebenaran berikut:
Tabel >2. Tabel Kebenaran Biimplikasi dan Negasinya
p q ~p ~q p ⇔ q ~(p ⇔q) (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) p ∨ q
B B S S B S S S
S B B S S B B B
B S S B S B B B
S S B B B B S S
Dalam kajian kitab-kitab Allah, kadang pembaca tanpa sadar mengasumsikan setiap implikasi adalah biimplikasi. Asumsi ini tidaklah benar. Keberadaan asumsi ini perlu kita sadari agar ketika mengkaji kitab, kita tidak terjebak ke dalam asumsi tanpa sadar ini. Tanpa ada alasan yang kuat, hindari mengasumsikan implikasi sebagai biimplikasi.










TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT
Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.
Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.
Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula campuran (contingent).
Contoh :
1. Tunjukkan bahwa pV(~p) adalah tautologi!
p • ~p pV(~p)
T T T
T F T
F T T
F F T
1. Tunjukkan bahwa (pVq) ^ [(~p) ^ (~q)] adalah kontradiksi!
p q • ~p ~q pVq • ~p ^ ~q (pVq) ^ [(~p) ^(~q)]
T T F F T F F
T F F T T F F
F T T F T F F
F F T T F T F
Tunjukkan bahwa [(p^q) =>r] => p adalah contingent!
p q r p^q (p^q) => r [(p^q) => r] => p
T T T T T T
T T F T T T
T F T F F T
T F F F F T
F T T F T F
F T F F T F
F F T F T F
F F F F T F

HUKUM PROPOSISI

Identitas p^1 = p pV0 = p
Ikatan pV1 = T p^0 = 0
Idempoten pVp = p p^p = p
Negasi pV~p = 1 p^~p = 0
Negasi Ganda • ~~p = p
Komutatif pVq = qVp p^q = q^p
Asosiatif (pVq)Vr =pV(qVr) (p^q)^r = p^(q^r)
Distributif pV(q^r) = (pVq)^(pVr) p^(qVr) = (p^q)V(p^r)
De Morgan’s • ~(p^q) =~p V ~q
• ~(pVq) = ~p ^ ~q
Aborbsi p^(pVq) = p pV(p^q) = p


Contoh 1.11 :
1. Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.
• ~(pV~q) V (~p^~q) = ~p
Penyelesaian
• ~(pV~q) V (~p^~q) = (~p^~(~q)) V (~p^~q)
= (~p^q) V (~p^~q)
=~p ^ (qV~q)
= ~p ^ T
= ~p Terbukti
Dalam membuktikan ekuivalensi p=q ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :
1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
2. Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P.
3. P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R
Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika p dan q sama-sama kompleks.
PENYEDERHANAAN LOGIKA
Operasi penyederhanaan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya perhatikan operasi penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.
Contoh :
1. ~p => ~(p => ~q)
=~p => ~(~p V ~q) ingat p=>q = ~pVq
= ~(~p) V~(~p V ~q) ingat p=>q =~pVq
= p V(p ^q) Hk. Negasi ganda dan De Morgan
=(pVp) ^ (pVq) Hk. Distributif
= p^(pVq) Hk. Idempoten pVp = p
= p Hk. Absorbsi
2. pV(p^q)
= (p^1) V(p^q) Hk.Identitas
=p^(1Vq) Hk.Distributif
=p^1 Hk.Identitas V
=p Hk.Identitas ^
3. (p=>q) ^ (q=>p)
= (~pVq) ^ (~qVp) ingat p=>q = ~pVq
= (~pVq) ^ (pV~q) Hk. Komutatif
=[(~pVq) ^p] V [(~pVq)^~q] Hk. Distributif
= [(p^~p)V(p^q)] V [(~pV~q)V(q^~q)] Hk. Distributif
=[0V(p^q)] V [(~p^~q)V0] Hk. Kontradiksi
=(p^q)V(~p^~q) Hk. Identitas
Operasi penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi logika adalah 1, maka ekspresi logika tersebut adalah tautologi. Jika hasil yang diperoleh adalah 0, berarti ekspresi logika tersebutkontradiksi. Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya adalah contingent.