BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah
Menurut sejarah ketika orang melakukan kegiatan membilang atau mencacah kebingungan untuk memberikan lambang bilangannya. tetapi kemudian dibuatlah sistem numerasi yaitu sistem yang terdiri dari numerial (lambang bilangan/angka) dan number (bilangan). Sistem numerasi adalah aturan untuk menyatakan menuliskan bilangan dengan menggunakan sejumlah lambang bilangan.
B. Rumusan Masalah
1. Apa definisi bilangan dan angka?
2. Jelaskan perbedaan Bilangan dan Angka!








BAB II
PEMBAHASAN


A. DEFINISI BILANGAN DAN ANGKA
1. BILANGAN
 Arti kualitatif: suatu ungkapan mengenai banyaknya sesuatu.
 Arti kuantitatif: banyaknya sekumpulan benda-benda / makhluk yang ditulis dalam bentuk lambang / numeric.
 Arti menurut ensiklopedia matematika: bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan simbol atau lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan.
Contoh:
A =
B = , ,
Nama bilangan:
Untuk membedakan bilangan yang satu dari yang lain, diperlukan nama.
Misalnya nama bilangan dari himpunan kosong adalah nol.
Nama-nama bilangan yang sudah kita kenal antara lain:
Nol diwakili oleh lambang 0
Satu diwakili oleh 1
Dua diwakili oleh 2
Tiga diwakili oleh 3, dan seterusnya.
Beberapa orang filosof memberikan pendapatnya tentang bilangan, antara lain:
a. Bruce E. Meserve
Menyatakan ”bilangan itu adalah suatu abstraksi, tidak memiliki keperiadaan secara fisik”.
b. Phytagoras
Menyatakan ” segala sesuatu adalah bilangan”
Kemudian Koestler memberikan tanggapan terhadap pendapat Phytagoras
” segala sesuatu adalah bentuk, dan segala sesuatu dapat ditentukan oleh bilangan”
c. Cantor
Mengambil koleksi sebagai titik tolak, tetapi menekankan bahwa bilangan hanyalah sifat dari koleksi itu dan bukan koleksi itu sendiri.
d. Prege
Menganggap bahwa bilangan itu bukan sesuatu yang besifat fisik, karena benda fisik dapat dianggap satu atau banyak.
Bilangan bukanlah benda fisik , karena bilangan perlu ditetapkan tanpa keragu-raguan.
Bilangan bersifat nonsensible dan objektif.
e. Sigwart
Telah menyusun pengertian bilangan sebagai perluasan pengertian kejamakan.
f. Stewart
Setiap bilangan tidak semata-mata suatu kejamakan, tetapi suatu kejamakan yang dipikirkan sebagai terjalin bersama-sama dan tertutup serta sejauhn itu sebagai satu kesatuan.
g. Newton
Turut serta mengemukakan ” bahwa 0 (nol) itu adalah besaran dan perbandingan besaran yang dalam waktu terhingga terus mengumpul sampai ke kesamaan, dan sebelum sampai pada akhir waktu itu makin mendekat satu terhadap lainnya sampai dapat diketahui, akhirnya menjadai sama.”
h. Eddington
Mengakui bahwa bilangan dapat mengubah suatu pengertian kualitatif yang kurang tegas dalam sesuatu sehingga sesuatu itu nyata terumuskan ke dalam bagian –bagian yang tegas.
Dari bilangan-bilangan berlangsunglah harmoni dan hukum alam yang menjadi tujuan ilmu pengetahuan dan mengungkapkannya.
i. Ayah Willie
Sebagai orang awam merasa bingung dan kesal terhadap pernyataan matematika.
” kalau saya menambah tiada kepada 5 maka saya tidak menambah sesuatu sehingga saya mengubah nlainya.hal yang sama juga benar ketika saya mengambil tiada dari 5. Kini kalau saya mengalikan 5 dengan tiada maka saya tidak mengalikannya dengan sesuatu dan tentunya saya membiarkan dia sendirian dan nilainya tidak berubah. Kini saya mngetahui bahwa 5 kali tiada adalah tiada tetapi saya merasa pasti bahwa ia harus 5. Mengapa tak ada suatu bilangan kali tiada sama dengan bilangan itu karena alasan saya yang telah saya kemukakan tadi.”
2. ANGKA
 Definisi: tanda / lambang sebagai pengganti bilangan / nomor.
 Arti kata 'angka' lebih mendekati arti kata 'digit' dalam bahasa Inggris. Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari 'digit'. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan. Sesuai dengan arti kata 'digit', lebih baik pengertian angka.
 Arti menurut Ensiklopedia Matematika: angka adalah lambang bilangan.
Contoh: angka hindu arab, angka romawi,angka jepang.
Angka arab: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Angka romawi:
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

Angka jepang:
一
Satu 二
Dua 三
Tiga 四
Empat 五
Lima 六
Enam 七
Tujuh 八
Delapan 九
Sembilan 十
Sepuluh

 Teori Angka Al-Farisi
Dalam bidang matematika, Al-Farisi memberikan kontribusi yang penting mengenai angka yakni teori angka. Karyanya yang paling mengesankan dalam teori angka adalah amicable numbers (angka yang bersabat). Al-Farisi mencatat ketidakmungkinan memberikan sebuah cara pemecahan persamaan bilangan bulat.
Dalam Kitab Tadhkira al-ahbab fi bayan al-tahabb (Memorandum for friends on the proof of amicability) al-Farisi memberikan bukti baru mengikuti teori Thabit ibnu Qurra dalam angka bersahabat (amicable numbers) . Amicable number merupakan pasangan bilangan yang mempunyai sifat unik; dua bilangan yang masing-masingnya adalah jumlah dari pembagi sejati bilangan lainnya. Thabit, telah berhasil menciptakan rumus bilangan bersahabat sebagai berikut:
p = 3 x 2n11
q = 3 x 2n1
r = 9 x 22n11
Penjelasannya: n > 1 adalah sebuah bilangan bulat. p, qr, dan r adalah bilangan prima. Sedangkan, 2npq dan 2nr adalah sepasang bilangan bersahabat. Rumus ini menghasilkan pasangan bersahabat (220; 284), sama seperti pasangan (17296, 18416) dan pasangan (9363584; 9437056). Pasangan (6232; 6368) juga bersahabat, namun tak dihasilkan dari rumus di atas.
Teori bilangan bersahabat yang dikembangkan Thabit juga telah menarik perhatian matematikus sesudahnya. Selain Abu Mansur Tahir Al-Baghdadi (980 M-1037 M) dan al Madshritti (wafat 1007 M), al-Farisi juga tertarik mengembangkan teori itu. Dalam Tadhkira al-ahbab fi bayan al-tahabb al-Farisi juga memperkenalkan sebuah karya besar yakni pendekatan terbaru meliputi ide mengenai faktorisasi dan metode gabungan. Pada kenyataannya pendekatan al-Farisi menjadi dasar dalam faktorisasi khusus bilangan bulat ke dalam kuasa-kuasa angka utama.
Diakhir risalahnya, al-Farisi memberikan pasangan-pasangan angka bersahabat (amicable numbers) 220, 284 dan 17296, 18416, diperoleh dari peraturan Thabit dengan n = 2 dan n = 4 berturut-turut. Pasangan angka bersahabat 17296, 18416 diketahui pasangan angka bersahabat Euler.
Sehingga tak diragukan lagi bahwa al-Farisi mampu menemukan angka bersahabat sebelum Euler. Tak cuma matematikus Muslim yang tertarik dengan teori bilangan bersahabat. Ilmuwan yang diagung-agungkan peradaban Barat, Rene Descartes (1596 M- 1650 M), juga mengembangkannya. Peradaban Barat kerap mengklaim teori bilangan bersahabat berasal dari Descartes. Selain itu, matematikus lain yang mengembangkan teori ini adalah C Rudolphus.
B. PERBEDAAN BILANGAN DAN ANGKA
Apa perbedaan angka dan bilangan? Pada umumnya kita mengenal bilangan dengan menggunakan angka yang berbentuk seperti lingkaran, tongkat, bebek, mulut kucing (?) … dan seterusnya. Tapi bagaimana menjelaskan bilangan? Misalkan Anda memiliki sebuah angka, sebutlah angka satu. Dengan membaginya menjadi dua, Anda akan memperoleh, kemudian jika dibagi lagi berturut-turut Anda akan memperoleh 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 dan seterusnya. Konsep dalam kepala Anda akan dapat terus membagi konsep bilangan satu, sedangkan bilangan yang digunakan untuk menjelaskan bilangan tersebut akan kian memanjang.
Sebuah angka digunakan untuk melambangkan bilangan. Tetapi bagi orang-orang awam, angka dan bilangan seringkali dianggap dua entitas yang sama.
Memang bahasa Indonesia belum cukup baku sebagai alat komunikasi dalam ilmu dan sains, sehingga belum ada konsesus resmi bahwa 'angka' dan 'bilangan' melambangkan dua hal yang sangat berbeda. Demikian pula, kedua kata angka dan bilangan masih sering dipertukarkan dengan kata nomor.
Kata nomor biasanya menunjuk satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yg berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Jadi kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian 'urutan'.
Arti kata 'angka' lebih mendekati arti kata 'digit' dalam bahasa Inggris. Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari 'digit'. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan. Sesuai dengan arti kata 'digit', lebih baik pengertian angka dibakukan dengan batasan agar hanya ada sepuluh angka yang berbeda: 0, 1, 2 ..., 9.
Untuk memperjelas pengertian angka seperti diuraikan dalam paragraf terakhir, berikut diberikan dua contoh penggunaannya."Bilangan sepuluh ditulis dengan dua buah angka (double digits), yaitu angka 1 dan angka 0."
Setiap lambang hanya mewakili sebuah bilangan saja. Misalnya lambang 4 hanya mewakili bilangan empat saja. Sebaliknya setiap bilangan dapat diwakili oleh lebih dari satu lambang. Misalnya lambang bilangan enam dapat diwakili oleh 1+5 atau 2+4 atau 3+3 atau 7-1 , atau 18 :3 dan seterusnya.


BAB III
PENUTUP

Kesimpulan
BILANGAN
 Arti kualitatif: suatu ungkapan mengenai banyaknya sesuatu
 Arti kuantitif: banyaknya sekumpulan benda-benda / makhluk yang ditulis dalam bentuk lambang / numeric.
 Arti menurut ensiklopedia matematika: bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan simbol atau lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan.
ANGKA
 Definisi: tanda / lambang sebagai pengganti bilangan / nomor.
 Arti kata 'angka' lebih mendekati arti kata 'digit' dalam bahasa Inggris. Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari 'digit'. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan.
Sebuah angka digunakan untuk melambangkan bilangan. Tetapi bagi orang-orang awam, angka dan bilangan seringkali dianggap dua entitas yang sama.