GEOMETRI

PRISMA

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bangun datar yang kongruen dan sejajar dan bidang-bidang lain yang dua-dua berpotongan menurut garis-garis sejajar.
Bangun-bangun datar yang kongruen itu disebut bidang alas dan bidang atas.
Bidang –bidang yang dua-dua berpotongan disebut sisi tegak.
Macam –macam prisma:
1. prisma tegak
adalah prisma yang sisi teganya tegak lurus dengan alas bidang dengan masing-masing titik ujung pada masing-masing bidang.



2. prisma miring
adalah prisma yang sisi-sis tegaknya tegak lurus dengan masing-masing bidang.



3. prisma siku-siku
adalah prisma yang sisi-sisi tegaknya tegak lurus dengan alas- alasnya.
Pada prisma siku-siku, sisi tegaknya juga merupakan tinggi.


















PRISMA SIKU-SIKU










Prisma segi enam siku- siku prisma segitiga siku-siku







Prisma persegi panjang siku-siku.


Luas sisi tegak prisma siku-siku
Luas sisi tegak prisma siku-siku adalah jumlah luas semua sisi tegaknya.
Misalkan luas sisi tegak dinyatakan dengan S , tinggi dengan t dan keliling dengan p, maka dapat diperoleh rumus
S = pt
Contoh soal :
1. carilah luas sisi tegak dari pisma heksagon siku-siku yang diketahui sebagai berikut :
12 cm 13 cm


17 cm



8 cm 11 cm 18 cm
11 cm

Penyelesaian:
S = pt
= (11+ 18 + 13 + 12 + 10 + 8 ) ( 17 )
= 72 x 17
= 1224 cm2



Luas keseluruhan prisma siku- siku
Luas keseluruhan prisma siku-siku adalah jumlah ;uas sisi tegak dan luas dua alasnya.
Karena kedua alasnya sama, luas keduanya juga sama.
Misalkan luas keseluruhan prisma siku-siku LK , dengan luas sisi tegak LS dan luas alas LA maka diperoleh rumus sebagai berikut :
LK = LS + 2 LA atau
LK = pt + 2 LA
Contoh soal :
2. carilah luas keseluruhan prisma segitiga siku-siku dibawah ini
4 cm

2 cm


3 cm

Penyelesaian :
Alas prisma berupa segitiga siku-siku denagn kaki-kaki yang berukuran 3 cm dan 4 cm.
Sisi miring 2 = 32 + 42
= 9 + 16
= 25
Sisi miring = 25
= 5 cm


Alas prisma di atas berbentu sebagai berikut:

4


3 5

Maka keliling alasnya adalah ( 3 + 4 + 5 )
KA = 12 cm
Karena segitiga nya adalah siku-siku , maka kaki-kakinya bisa digunakan sebagai
Alas dan tinggi.
A = luas segitiga = ½ at
= ½ ( 3) ( 4)
= 6 cm 2
L = LS + 2 LA
= pt + 2 LA
= ( 12 cm ) ( 2 cm ) + 2 ( 6 cm2)
= 24 cm 2 + 12 cm 2
= 36 cm 2




VOLUME PRISMA

H G

E



C

A B

Balok adalah salah satu prisma dengan alas persegi panjang. Jikja balok tersebut dipotong tegak sepanjang bidang diagonal ACGE maka akan terbentuk dua prisma segitiga yang kongruen denagn alas berbentuk segitiga sama kaki yaitu prisma segitiga sama kaki ABC. EFG dan prisma segitig asama kaki ACD. EGH
Volume prisma segitiga ACD. EGH = ½ x volume balok ABCD. EFGH
= ½ x ( luas ABC + luas ACD ) x AE
= ½ x ( 2 luas ABC ) x AE
= luas ABC x AE
= luas alas x tinggi
Selanjutnya perhatikan prisma segi enam beraturan berikut ini :

L K

G J

H I

F E
A D

B C

Prisma segi enam beraturan terbentuk dari enam buah prisma segitiga.
Volume prisma segi enam ABCDEF. GHIJKL =
vol ABN. GHM + vol BCN + HIM +
vol CDN. IJM + vol DEN. JKM +
vol EFN. KLM + vol AFN. GLM
= luas ABN x MN + luas BCN xMN
= Luas CDN x Mn + luas DEN x MN
= Luas EFN x MN +luas AFN x MN
Karena luas ABN + luas BCN +luas CDN + luas DEN + luas EFN +luas AFN = luas segi enam ABCDEF. GHIJKL
Maka volume prisma segi enam beraturan ABCDEF. GHIJKL
= luas segi enam abcdef x MN
= luas alas x tinggi

Jadi volume prisma adalah luas alas x tinggi
Contoh soal:
3. sebuah prisma segi lima beraturan di bawah ini .m tentukan volume prisma tersebut !
I AJ = 20 cm
J K BC = 12 cm
AL = 10 cm
F G
A E D
M L
B C
Penyelesaian :
perhatikan ABL !
karena ABL adalah sama kaki maka AL = BL .
LM 2 = 102 - 62
= 100 – 36
= 64
LM = 64
= 8 cm
Luas ABL = ½ x 12 x 8
= 48 cm2
Volume prisma ABCDEF .GHIJKL = luas alas x tinggi
= 5 x luas ABL x LK
= 5 x 48 cm2 x 20 cm
= 4800 cm3






LIMAS
Limas adalah bangun ruang yang dibatasi sebuah bangun datar sebagai alas dan bidang sisi-sisi tegak berupa segitiga bertemu pada satu titik yang disebut titik puncak limas.
Sifat- sifat limas:
1. limas hanya memiliki satu alas yang berupa segi banyak.
2. setiap titik sudut alas membentuk sebuah titik , bukan bidang yang disebut titik puncak.
3. semua sisi segitiganya yang bertemu pada titik sudut limas disebut sisi tegak
4. garis yang merupakan perpotongan sisi tegak disebut rusuk tegak
5. garis yang tegak lurus dari puncak ke bidang alasnya adalah tinggi limas.
Macam- macam limas :
1. limas segitiga beraturan






2. limas segi empat beraturan








3. limas segi enam beraturan













4. limas segi empat sembarang








5. limas segitiga sembarang









Luas permukaan limas
T
T
S R
S T T
R
P P Q
Q
T
Perhatikan gambar diatas, sebuah limas T.PQRS dan gambar jaring-jaring yang terbentuk dari limas tersebut.
Luas permukaan limas adalah ;
= luas PQRS + luas PQT+ luas QRT + luas RST + luas PST
= luas alas + jumlah luas semua sisi tegak
Atau luas alas + (n x luas salah sat sisi tegaknya)







Contoh soal:
1. diketahui sebuah limas mempunyai alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 8 cm. jika tinggi segitiga pada sisi tegaknya 12 cm, tentukan luas permukaan limas!
Penyelesaian :
Luas permukaan limas = luas alas + (4 x luas segitiga)
= ( 8 cm x 8 cm ) + ( 4 x 12 cm x 8 cm )
= 64 cm + 192 cm
= 256 cm2

VOLUME LIMAS
H G


E F

D C

A B
Perhatikan gambar di atas!
Sebuah kubus ABCD. EFGH dengan panjang 2s. T merupakan titik potong dari keempat diagonal ruang kubus. Dari perpotongan itu terbentuk enam buah limas segiempat yang kongruen satu sama lain.
T

t
D C
A
B
Perhatikan gambar di atas!
Salah satu bentuk limas dari keenam limas yang menyusun kubus ABCD.EFGH.
Dari kedua gambar di atas, maka volume kubus sama dengan volume enam buah limas.
Volume kubus ABCD. EFGH = volume limas T.ABCD + vol. Limas T. BCGF +VOL limas T.EFGH + vol limas T. ADHE + vol limas T. ABFE + vol limas T. ABFE + vol limas T. DCGH.

Karena keenam limas yang terbentuk kongruen maka volumenya adalah sama.
Volume kubus ABCD . EFGH = 6 x vol limas T. ABCD
Maka volume limas T. ABCD = 1/6 x volume kubus ABCD. EFGH
= 1/6 x 2s x 2s x 2s
= 1/6 x (2s)2 x s
= 1/3 x luas alas x tinggi ( t= s)
Jadi volume limas = 1/3 x luas alas x tinggi
Contoh soal :
2. diketahui alas sebuah limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm,jika tinggi limas 9 cm. tentukan volume limas !
penyelesaian:
volume limas = 1/3 luas alas x tinggi
= 1/3 10 cm x10 cm x 9 cm
= 300 cm 3

















KUBUS
Kubus adalah prisma bujur sangkar siku-siku yang semua rusuknya mempunyai panjang yang sama.

Luas permukaan kubus
Luas permukaan kubus dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan luas seluruh bidang sisi bangun tersebut.
Atau luas permukaan kubus adalah jumlah luas keenam persegi yang menyusun kubus tersebut.
Luas permukaan kubus = 6 x luas persegi
= 6 x (s x s )
= 6 x s2
Contoh soal :
1. panjang rusuk suatu kubus 4 cm. Hitunglah luas permukaan kubus itu !
penyelesaian :
s = 4 cm
L = 6 x s2
= 6 x 42
= 96 cm2
Jadi luas permukaan kubus adalah 96 cm2






VOLUME KUBUS
Kubus merupakan balok khusus dengan ukuran panjang, lebar, dan tinggi yang sama.
( semua panjang rusuknya sama). Oleh karena itu maka volume kubus adalah hasil perkalian dari panjang rusuk tadi ( yaitu panjang, lebar dan tinggi )
Volume kubus = s x s x s
Atau volume kubus = s3
Contoh soal :
2. tentukan volume kubus yang mempunyai panjang rusuk 6 cm !
penyelesaian :
s = 6 cm
V = s3
= 63
= 216 cm3
Jadi volume kubus adalah 216 cm3

















BALOK
Balok adalah sebuah bangun ruang yang terbentuk dari tiga pasang bidang berbentuk daerah persegi panjang yang kongruen.






Luas permukaan balok
Luas permukaan balok dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan las permukaan kubus .yaitu dengan menjumlahkan luas ketiga pasang persegi panjang yang kongruen .luas permukaan balok dengan panjang , lebar dan tinggi adalah
L = 2 ( pl + pt + lt)
Berikut adalah gambar jaring –jaring balok






Contoh soal :
1. jika perbandingan panjang, lebar dan tinggi suatu balok adalah 3:2:1 dan luas permukaan balok adalah 88 cm2, tentukan panjang, lebar dan tinggi balok tersebut!
Penyelesaian :
Misalkan
Tinggi = t = x
Lebar = l = 2 x
Panjang = p = 3 x

Luas permukaan balok = 2 ( pl + pt + lt )
88 = 2 ((3x )(2x) + (3x)(x) + (2x)(x))
88 = 2 (6x2 + 3x2 + 2x2)
88 = 22x2
X2 = 88
22
=4
X = 2
Jadi panjang 6 cm , lebar 4 cm dan tinggi 2 cm.























VOLUME BALOK
Secara umum , untuk balok dengan ukuran rusuk-rusuknya panjang = p, lebar = l dan tinggi = t , maka volume balok adalah hasil kali dari rusuk-rusuknya.
V= p x l x t
Contoh soal :
2. tentukan volume balok dengan panjang 4 cm, lebar 3 cm dan tinggi 2 cm 1
penyelesaian :
p= 4 cm
l = 3 cm
t = 2 cm
V= p x l x t
= 4 cm x 3 cm x 2 cm
= 24 cm 3
Jadi volume balok adalah 24 cm3

















TABUNG / SILINDER
Tabung / silinder menyerupai prisma tegak tetapi alasnya berbentuk lingkaran.
Jenis- jenis silinder:
1. silinder siku-siku





2. silinder lingkaran miring






Teorema yang berhubungan dengan silinder:
* luas sisi tegak LS dari sebuah silinder lingkaran siku-siku dengan keliling alasnya K dan tinggi t akan menghasilkan rumus
LS = ( K) (t) satuan 2
= (2Лr) (t) satuan 2
* luas keseluruhan LK sebuah silinder siku-siku dengan luas sisi tegak LS dan luas alas LA menghasilkan rumus :
LK = LS + 2 LA satuan 2
= ( 2Лr) (t) + 2Лr2 satuan 2
= 2Лr ( t + r) satuan 2
* volume silinder siku-siku V dengan alas A dan tinggi t akan menghasilkan rumus:
V = (LA ) (t) satuan3
= Лr2 9 t) satuan 3


Contoh soal :
1. carilah LS, LK dan V pada silinder dibawah ini !


10 cm


LS = (2) (Л)(7 cm) (10 cm)
= 140 Л cm2
LK = LS + 2 LA
= 140 Л + 2 (Л)( 7 cm )2
= 238 Л cm2
V = L (t)
= Л( 7cm)2( 10cm)
= 490 Л cm3
















KERUCUT
Kerucut sama dengan limas beraturan tetapi alasnya berbentuk lingkaran.

Titik puncak


Tinggi miring
(l) t( tinggi)




Teorema :
* luas selimut LS kerucut dengan keliling alas K dan tinggi miring l akan menghasilkan rumus:
LS = ½ (K)(l) satuan 2
= ½ ( 2Л) (r)(l) satuan 2
= Лrl satuan2
* luas seluruh LK kerucut dengan luas selimut LS dan luan alas LA menghasilkan rumus:
LK = LS + LA satuan2
= Лrl + Лr2 satuan 2
= Лr (l + r) satuan2
* volume V kerucut dengan luas alas LA dan tinggi t menghasilkan rumus:
V = 1/3 (LA) (t) satuan 3
= 1/3 (Лr2) (t) satuan 3











Contoh soal :
1. carilah luas samping , luas keseluruhan dan volume kerucut dibawah ini!

8cm
l


a) tinggi miring , jari-jari dan tinggi kerucut membentuk segitiga siku-siku


8cm l

6 cm
Maka l2 = 82 + 62
= 64 + 36
= 100
Jadi l = 100
= 10 cm
LS = Лrl
= Л (6)(10)
= 60 Л cm2
b)LK= LS + LA
= 60Л + Л(6)2cm2
= 96 Лcm2
c)V = 1/3 (LA) t
= 1/3 (36 cm 2) 8 cm
= 96 cm3




BOLA
Bola adalah rangakian titik-titik pada suatu ruang yang mempunyai jarak yang sama dari titik tetap (pusat). Jarak tersebut adalah jati-jari bola. Karena bola tidak mempunyai alas , luasnya dihitung dengan nama luas permukaan.




Teorema :
* luas permukaan bola LP sebuah bola dengan jari-jari r menghasilkan rumus
LP = 4 Лr satuan 2
*volume bola V dengan jari-jari r menghasilkan rumus
V = 4/3 Лr3 satuan 3
Contoh soal :
1. carilah luas permukaan bola dan volume dengan jari-jari r= 9 cm !
LP = 4Лr2
= 4 Л(9)2
= 324 Л cm2
V = 4Лr3
= 4/3 Л( 9) 3 cm3
= 4/3 Л(729)cm3
= 927 Л cm3