SISTEM
BILANGAN



Tujuan diklat :
Dengan selesainya pelatihan mahasiswa diharapkan dapat :
1. Menjelaskan konsep bilangan biner
2. Menjelaskan konsep bilangan octal
3. Menjelaskan konsep bilangan hexa desimal
4. Menjelaskan konsep bilangan BCD
5. Mengoperasikan aritmatik sistem bilangan : Biner,Octal,Hexa dan BCD

Bilangan Biner
Sistem bilangan desimal kurang serasi digunakan pada sistem digital karena sulit untuk mendesain rangkaian elektronik sedemikian rupa sehingga dapat bekerja dengan 10 level tegangan yang berbeda ( 0 – 9 ).
Sebaliknya akan lebih mudah mendesain rangkaian elektronik yang beroperasi dengan hanya menggunakan 2 level tegangan saja. Untuk alasan ini hampir semua sistem digital menggunakan sistem bilangan biner ( dasar 2 ) sebagai dasar operasinya. Pada sistem biner hanya digunakan dua simbol / nilai digit yang mungkin yakni : 0 dan 1.
Semua ketentuan – ketentuan yang berlaku pada sistem cesimal juga berlaku pada sistem biner.
Perhatikan ilustrasi bilangan biner : 1011,101
25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
.
MSB TB LSB
Setiap digit biner dinamakan BIT, sedang BIT paling kiri dinamakan Most Significant Bit ( MSB ) dan BIT paling kanan dinamakan Least significant Bit ( LSB ).
Untuk membedakan bilangan pada sistem yang berbeda cara penulisannya menggunakan subskrib. Sebagai contoh bilangan ( 9 )10 menyatakan desimal sedang ( 1001 )2 menyatakan bilangan biner.

Konversi Desimal ke Biner
Konversi desimal ke biner dapat dilakukan dengan beberapa cara namun yang paling mudah menggunakan metoda trial and error. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi 2 dengan memperhatikan sisa pembagiannya. Sisa pembagian akan brnilai 1 atau 0 yang akan membentuk bilangan biner dengan sisa yang terakhir merupakan MSB.

Contoh : konversikan bilangan decimal 25
Caranya ditempuh jalan sbb:

25/2 = 12 + sisa 1

12/2 = 6 + sisa 0

6/2 = 3 + sisa 0

3/2 = 1 + sisa 1

2/2 = 0 + sisa 1





1 1 0 0 1

MSB LSB

Jadi ( 25 )10 = ( 11001 )2
Penjumlahan Biner
Ikuti tabel berikut :
+ 0 1
0 0 1
1 1 10

Contoh :
( 1011 )2 + ( 1011 )2 = ( ---------------)2

Untuk memudahkan hitungan dibuat bersusun :

1 0 0 1
1 0 1 1
--------- +
1 0 1 0 0 ( hasil )

Perkalian Biner
Perhatikan tabel berikut :

X 0 1
0 0 0
1 0 1
Contoh :
( 101 )2 x ( 11 )2 = ( ----------- )2


1 0 1
1 1
------------ x
1 0 1
1 0 1
------------- +
1 1 1 1

Pengurangan Biner
Perhatikan tabel berikut :

- 0 1
0 0 1
1 1 0
Hasil : 1 namun pinjam :1 dari bit didepannya.
Contoh :
( 1001 )2 - ( 11 )2 = ( ---------------)2

Dibuat secara bersusun berikut :

1 0 0 1
11
------------ -
1 1 0

Pembagian Biner
Pembagian biner berlangsung sama dengan proses pembagian bilangan desimal bahkan lebih sederhana karena hanya menerapkan digit:0 dan 1.

Contoh : ( 1101 )2 : ( 11 )2 = ( ----------)2
Penyelesaiannya ditempuh jalan :
11

Pembagi 11 1101
11

11
11

00 ( habis dibagi )


Konversi Biner ke Desimal
Ikuti langkah-langkah berikut ini :
1. Tuliskan bilangan biner dengan lengkap
2. Tulis deret bilangan : 1,2,4,8,16,32,64, …..dst, di bawah bilangan biner dimulai dari bit paling kanan (LSB )
3. Coret semua bilangan desimal yang bertepatan dengan digit biner 0.
4. Jumlahkan seluruh bilangan desimal yang masih tersisa .

Contoh : ( 101101 )2 = ( -----------------)10

1 0 1 1 0 1
32 16 8 4 2 1
32 + 8 + 4 + 1 = 45

Dapat pula dengan cara :

1 0 1 1 0 1 = 1.25 + 0.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20
= 32 + 8 + 4 + 1
= 45

Latihan 1.
1.Ubah bilangan desimal menjadi biner
a).17 b). 42 c).75 d).31,84 e). 56,35
2.Ubah bilangan biner menjadi desimal
a). 1 1 0 b). 1 1 1 0 c). 1 0 1 0
d). 1 1 1,0 1 1 e). 1 0 1 1, 1 0 1
3.Hitung opersai biner :
a). 1 1 0 1 + 1 0 1 1 0
b). 1 1 1 0 – 1 0 1
c). 1 1 0 0 : 1 0
d). 1 1 0 1 x 1 0 1
Bilangan Octal
Dalam sistem digital selain bilangan biner juga digunakan sistem bilangan octal, namun sistem ini tidak dipakai dalam perhitungan melainkan untuk memendekkan bilangan biner saja. Bilangan octal dikenal dengan sistem bilangan dasar delapan. Berikut diberikan tabel yang memuat perbandingan antara bilangan: Desimal,Biner dan Octal

DESIMAL BINER OCTAL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1 0
1
2
3
4
5
6
7
10
11


Konversi Desimal ke Octal
Konversi dilakukan dengan membagi delapan bilangan desimal hingga bilangan desimal habis dibagi dan sisanya dituliskan disebelah kanannya ( seperti konversi desimal ke biner ).




Contoh : ( 1359 )10 = ( ------------)8
Penyelesaian :
1359/8= 169 + 7
169/8 = 21 + 1
21/8 = 2 + 5
2/8 = 0 + 2



2
5 1 7


Konversi Biner ke Octal
Proses perubahannya dilakukan dengan mengelompokkan bilangan – bilangan biner menjadi beberapa group , dimana setiap group terdiri dari 3 bit biner dan dimulai dari LSB.
Langkah berikutnya mengkonversi setiap kelompok kedalam bentuk octal.
Contoh : ( 1110111001111000 )2 = ( -----------)8


1 110 111 001 111 000


1 6 7 1 7 0

Konversi Octal ke Biner
Prosesnya merupakan kebalikan dari perubahan biner ke octal.
Contoh : ( 1726 )8 = ( ------------)2


1 7 2 6

1 111 010 110
(MSB) (LSB)

Penjumlahan dan Pengurangan Octal
Guna memudahkan dalam pelaksanaan penjumlahan maupun pengurangan bilangan octal maka dibuatkan tabel seperti berikut


+/- 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 3 4 5 6 7 10 11
3 3 4 5 6 7 10 11 12
4 4 5 6 7 10 11 12 13
5 5 6 7 10 11 12 13 14
6 6 7 10 11 12 13 14 15
7 7 10 11 12 13 14 15 16

Contoh : ( 2067 )8 + ( 7647 )8

Penyelesaian :
D C B A
2 0 6 7
7 6 4 7
---------------------------------------------- +
1 1 7 3 6

Penjelasan :
• kolom A : 7 + 7 = ( 14 )10 = ( 16 )8

• kolom B : 6 + 4 + 1 = ( 11 )10 = ( 13 )8

• kolom C : 0 + 6 + 1 = ( 7 )8

• kolom D : 2 + 7 + 0 = ( 9 )10 = ( 11 )8

Jadi hasilnya adalah : ( 11736 )8

Perkalian dan Pembagian octal

Proses perkalian octal dapat ditempuh dengan 2 cara :
1. Merubah dahulu octal ke desimal, kemudian dilakukan perkalian biasadan hasilnya dikonversi ke octal.





2. Bentuk langsung dengan menggunakan tabel .
X/: 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 10 12 14 16
3 0 3 6 11 14 17 22 25
4 0 4 10 14 20 24 30 34
5 0 5 12 17 24 31 36 43
6 0 6 14 22 30 36 44 52
7 0 7 16 25 34 43 52 61

Contoh : ( 24 )8 x ( 56 )8
Penyelesaian :
24
56
-------------------- x
170
144
-------------------- +
1630

Penjelasan :
• 4 x 6 = ( 24 )10 = ( 30 )8

• 2 x 6 = ( 12 )10 = ( 12 )8 + ( 3 )8

• 5 x 4 = ( 20 )10 = ( 24 )8

• 5 x 2 = ( 10 )10 = ( 12 )8

• tambahkan sisa ( 2 )8 menghasilkan ( 14 )8

• jumlahkan masing – masing :
0 + 0 = 0
7 + 4 = ( 11 )10 = ( 13 )8

1 + 1 + 4 = ( 6 )8

0 + 1 = ( 1 )8




Pembagian octal
Seperti pada perkalian , pembagian octal juga dapat ditempuh dengan 2 cara :
1. Pembagi dan yang dibagi diubah dulu kedalam bentuk desimal kemudian hasilnya dikonversi ke octal.
2. Menggunakan aritmatik octal langsung.

Contoh : ( 1637 )8 : ( 34 )8


Penyelesaian :
41 ( hasil )
34 1637
160
------- -
37
34
-------- -
3 ( sisa )
Latihan 2.

1. Ubah desimal ke octal :
a). 75 b). 158

2. Ubah biner ke octal:
a). 111001001 b). 1001110011

3. .Hitunglah :
a). (12 x 35)8 b). ( 453 x 57 )8


c). ( 125 : 3 )8 d). ( 346 + 67 )8


HEXA DESIMAL
Sistem bilangan ini dikenal dengan basis enam belas . Seperti halnya octal, hexa juga dipergunakan untuk memendekkan persamaan-persamaan bilangan biner.
Berikut tabel komparasi antara Biner , Octal dan Hexa.




Biner Hexa Octal Desimal
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 2 2 2
0 0 1 1 3 3 3
0 1 0 0 4 4 4
0 1 0 1 5 5 5
0 1 1 0 6 6 6
0 1 1 1 7 7 7
1 0 0 0 8 10 8
1 0 0 1 9 11 9
1 0 1 0 A 12 10
1 0 1 1 B 13 11
1 1 0 0 C 14 12
1 1 0 1 D 15 13
1 1 1 0 E 16 14
1 1 1 1 F 17 15
1 0 0 0 0 10 20 16

Sistem operasi hexa desimal sama seperti sistem bilangan yang lain.
Konversi Hexa ke Desimal
Konversi Hexa ke Desimal berlangsung sama seperti bilangan yang lainnya,melainkan menggunakan bilangan dasar 16.

Contoh: Ubah ( 2C9 )16 ke Desimal


Penyelasaian :
( 2C9 )16 = 2 x 162 + 12 x 161 + 9 x 160
= 512 + 192 + 9
= ( 713 )10

Ubah ( EB4A )16 ke Desimal

Konversi Desimal ke Hexa
Bilangan decimal dapat diubah kedalam bentuk Hexa menggunakan pembagian dengan factor pembagi 16. Hasilnya berupa sisa yang diterjahkan kedalam bentuk hexa yang dibaca dari bawah ke atas

Contoh 1: Ubah (423)10 ke Hexa
Penyelesaian :

423/16 = 26 + sisa 7 7
26/16 = 1 + sisa 10 A
1/16 = 0 + sisa 1 1

Jadi hasilnya adalah : (1A7)16

Contoh 2 : Ubah (72905)10 ke Hexa
Penyelesaian :

Konversi Hexa ke Octal

Contoh 1 : Ubah( 7FE )16 ke Octal

Bilangan asli = 7 F E
Ubah ke biner = 0111 1111 1110
Regruping = 011 111 111 110
Octal = 3 7 7 6

Jadi hasilnya : ( 7FE )16 = ( 3776 )8

Contoh 2 : Ubah ( 7642 )8 ke Hexa
Penyelesaian :































Mata Kuliah : Teori Bilangan
Kelas/Semester : C / 2
Dosen Pengasuh : Ni Nyoman Hetty Susanti, S.Pd
Latihan
1. Konversikan desimal ke biner :
a). 43 b). 64 c). 4096
d). 0,375 e).0,58 f).`0,4375
g).512,5 h).131,5625
i). 2048,625.
2. Konversikan biner ke desimal :
a). 1101 b). 11011 c).1011
d). 0,1011 e). 0,001101 f). 0,00110
g). 111011,1011 h). 1011011,001101
3. Jumlahkan biner berikut :
a). 1001,1 + 1011,01
b). 0,1011 + 0,1101
c).100101 + 100101
d).1011,01 + 1001,11
4. Kurangkan biner :
a). 1101 – 1000
b). 1101 – 1001
c).1011,1 – 101,1
d). 1101,01 – 1011,1

5. Kerjakan pembagian biner berikut :
a). 1100 : 100
b). 111111 : 1001
c). 10111 : 100
d). 10110 : 1,1
6. Kalikan pasangan bilangan biner berikut :
a). 111 x 101
b).1011 x 1011
c). 101,101 x 110,010
d). 0,1101 x 0,1011
7. Konversikan desimal menjadi octal :
a). 59
b).372
c).0,58
d). 64,125
8. Konversikan octal menjadi desimal :
a).743
b). 36,40
c). 124,25
d). 365,45
9. Konversikan biner menjadi octal :
a). 101100110011
b). 1011101,1011
c). 10011000010110
d). 10110,01101101
10. Konversikan biner menjadi hexa :
a). 101100110011
b). 1011101,1011
c). 10011000010110
d). 10110,01101101
11. Konversikan deimal ke hexa :
a). 325
b). 679
c). 158
d). 32,64
12. Konversikan hexa ke desimal :
a). 625
b). 12C
c). AB5
d). E4F

13. Jumlahkan bilangan hexa :
a). 125 + 468
b). 46 + 324
c). A86 + 3F
d). CD2 + B4
14. Kalikan bilangan hexa :
a). 154 x 65
b). 79 x 90
c). 608 x 562
d). 234 x 87
15. Konversikan hexa ke octal :
a). 46
b). 98
c). 568
d). 725




Selamat Mencoba







Binary Coded Decimal ( BCD )
Apabila setiap digit dari suatu bilangan desimal dinyatakan dalam ekivalen binernya maka prosedur pengkodean ini disebut : Binary Coded Decimal dan disingkat BCD. Karena digit desimal besarnya dapat mencapai 9 maka diperlukan 4 bit untuk mengkode setiap digit desimal.
Untuk menunjukkan kode BCD, ambillah suatu bilangan desimal 874. Setiap digit diubah menjadi ekivalen binernya sbb:

8 7 4


1000 0111 0100

Sebagai contoh lain , ubahlah bilangan 94,5 menjadi representasi kode BCD !

9 4 , 5


1001 0100 0101

Sekali lagi, setiap digit desimal diubah menjadi ekivalen biner langsungnya. Namun harap diingat bahwa 4 bit selalu digunakan untuk setiap digit.
Dengan demikian kode BCD dapat dilihat dalam urutan berikut :
0000 – 0001 – 0010 – 0011 – 0100 – 0101 – 0110 – 0111 – 1000 – 1001 .

Contoh : 0011 1000 00101 1001 ( BCD )


3 8 5 9 ( Des )




Perbandingan antara kode BCD dan kode Biner langsung.
Penting untuk diketahui bahwa bilangan BCD tidak sama dengan bilangan biner langsung. Kode biner langsung mengkodekan lengkap seluruh bilangan desimal dan menyatakan dalam biner, sedang kode BCD mengubah desimal menjadi biner individual ( satu persatu ).

Contoh :
( 137 )10 = ( 10001001 ) ( biner )

( 137 )10 = 000100110111 ( BCD )

Penjumlahan BCD
Penjumlahan bilangan desimal yang berbentuk BCD paling mudah dipahami melalui dua kasus yang dapat terjadi pada saat digit – digit desimal dijumlahkan.
I. Jumlah samadengan sembilan atau kurang
Ikuti penjumlahan 5 dan 4 yang menggunakan BCD untuk menyatakan tiap-tiap digit :
5 0101 ( BCD )
4 0100 ( BCD )
-- ------
9 1001 ( BCD )

Contoh lain :
45 01000101 ( BCD )
33 00110011 ( BCD )
--- ------------
78 01111000 ( BCD )

II. Penjumlahan lebih dari sembilan
Perhatikan contoh berikut :
6 0110 ( BCD )
7 0111 ( BCD )
-- ------
13 1101 ( ? )

Hasil 1101 bukan kode BCD, ini merupakan kode yang salah / terlarang.
Untuk membetulkan digunakan koreksi ( 0110 ) sehingga menjadi :
6 0110 ( BCD )
7 0111 ( BCD )
--- -----------
13 1101 ( salah )

0110 ( koreksi )
-------------
13 10011 ( benar )

Latihan 3.

1. Nyatakan dalam kode BCD :
a.15
b. 25
c. 487
d. 587
e. 65,325
2. Tambahkan bilangan :
a. 578 + 309
b. 125 + 476
c. 568 + 249
d. 253 + 895



OO0OO